Задача 68811 Даны векторы а = (Q1; a2; аз), b = (3;...

63d8ee68559dd9424a1cc173

31.01.2023 13:44:13

Даны векторы а = (Q1; a2; аз), b = (3; b2; b3), c = (C1; 62; C3),
d = (da; d2; d) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, с образуют базис и найти координаты вектора д в этом базисе.

7 пример на фото
7. a = (-2: 1:4). b = (5; 7;2), c = (6;5; 1), d = (8;9; 12)

626fab9a354ab65fb2f43abb

31.01.2023 14:15:45

★

a = (-2; 1; 4); b = (5; 7; 2); c = (6; 5; 1); d = (8; 9; 12)
Векторы образуют базис, если определитель из их координат не равен 0.
[m]\begin{vmatrix}
-2 & 1 & 4 \\
5 & 7 & 2 \\
6 & 5 & 1 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= (-2)*7*1 + 5*5*4 + 6*1*2 - 6*7*4 - 1*5*1 - (-2)*5*2 =
= -14 + 100 + 12 - 168 - 5 + 20 = [b]-55 ≠ 0[/b]
Значит, векторы a; b; c образуют базис.

Чтобы найти координаты вектора d в этом базисе, нужно решить систему:
{ -2a + 1b + 4c = 8
{ 5a + 7b + 2c = 9
{ 6a + 5b + c = 12
Решаем методом Гаусса.
Умножаем 1 уравнение на 5, а 2 уравнение на 2 и складываем.
Умножаем 1 уравнение на 3 и складываем с 3 уравнением.
{ -2a + 1b + 4c = 8
{ 0a + 19b + 24c = 58
{ 0a + 8b + 13c = 36
Умножаем 2 уравнение на 8, а 3 на -19 и складываем.
{ -2a + 1b + 4c = 8
{ 0a + 19b + 24c = 58
{ 0a + 0b + 192c - 247c = 464 - 684
-55c = -220
c = -220/(-55) = 4
b = (58 - 24z)/19 = (58 - 96)/19 = -38/19 = -2
a = (8 - 4z - y)/2 = (8 - 4*4 - (-2))/2 = -6/2 = -3
Координаты вектора d в базисе (a; b; c) = [b](-3; -2; 4)[/b]