Задача 68767 4. Найдите частное рещёние уравнения...

63d66301eddc7673a051eb10

29.01.2023 21:01:30

4. Найдите частное рещёние уравнения хуйх=(1+х?)ау удовлетворяющее начальным условиям », =24/2 , х =1.

626fab9a354ab65fb2f43abb

29.01.2023 22:39:57

★

xy dx = (1 + x^2) dy; y0 = 2sqrt(2); x0 = 1
Уравнение с разделяющимися переменными.
x/(1 + x^2) dx = dy/y
Интегрируем обе части:
[m]\int \frac{x}{1+x^2}dx = \int \frac{dy}{y}[/m]
Левую часть решаем заменой:
1 + x^2 = t; dt = 2x dx; x dx = 1/2 dt
[m]\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \int \frac{dy}{y}[/m]
[m]\frac{1}{2} ln|t| + ln|C| = ln |y|[/m]
[m]\frac{1}{2} \cdot ln|1 + x^2| + ln|C| = ln |y|[/m]
[m]y = C \cdot \sqrt{1 + x^2}[/m]
Теперь решаем задачу Коши.
[m]y(1) = C \cdot \sqrt{1 + 1^2}[/m]
[m]2 \sqrt{2} = C \cdot \sqrt{2}[/m]
C = 2
Ответ: [b]y = 2sqrt(1 + x^2)[/b]