Задача 68758 3. Дано комплексное число - =— . а-а а)...

63d66301eddc7673a051eb10

29.01.2023 16:28:10

3. Дано комплексное число - =— . а-а а) Запишите число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. 6) Найдите все корни уравнения „* -- =0 и постройте корни на плоскости Оху.

626fab9a354ab65fb2f43abb

29.01.2023 16:35:25

★

1) Число нужно умножить на комплексно сопряженное.
[m]\frac{-1}{4-i \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{-(4+i \cdot 4\sqrt{3})}{(4-i \cdot 4\sqrt{3})(4+i \cdot 4\sqrt{3})} =\frac{-4-i \cdot 4\sqrt{3}}{16+ 16 \cdot 3} =[/m]
[m]=\frac{-4-i \cdot 4\sqrt{3}}{64} = \frac{-1-i \cdot \sqrt{3}}{16} = -\frac{1}{16} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{16}[/m]
Это алгебраическая форма.
[m]-\frac{1}{16} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{1}{8} \cdot (-\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (cos(\frac{4\pi}{3}) + i \cdot sin(\frac{4\pi}{3}))[/m]
Это тригонометрическая форма.
[m]-\frac{1}{16} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{1}{8} \cdot e^{i \cdot 4\pi/3}[/m]
Это показательная форма.

2) Найти корни уравнения w^3 - z = 0
[m]w^3 = z = \frac{1}{8} \cdot (cos(\frac{4\pi}{3}) + i \cdot sin(\frac{4\pi}{3}))[/m]
[m]w = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \cdot (cos(\frac{4\pi}{3}) + i \cdot sin(\frac{4\pi}{3}))}[/m]
По формуле Муавра для корней, w имеет 3 значения:
[m]w1 = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} \cdot (cos(\frac{4\pi/3}{3}) + i \cdot sin(\frac{4\pi/3}{3})) = \frac{1}{2} \cdot (cos(\frac{4\pi}{9}) + i \cdot sin(\frac{4\pi}{9}))[/m]
[m]w2 = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} \cdot (cos(\frac{4\pi/3+2\pi}{3}) + i \cdot sin(\frac{4\pi/3+2\pi}{3})) = \frac{1}{2} \cdot (cos(\frac{10\pi}{9}) + i \cdot sin(\frac{10\pi}{9})) [/m]
[m]w3 = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} \cdot (cos(\frac{4\pi/3+4\pi}{3}) + i \cdot sin(\frac{4\pi/3+4\pi}{3})) = \frac{1}{2} \cdot (cos(\frac{16\pi}{9}) + i \cdot sin(\frac{16\pi}{9}))[/m]