Задача 68750 Решите дифференциальное...

63d63178e5e6691aaa794b87

29.01.2023 12:44:12

Решите дифференциальное уравнение:
(1+x^2)y'-2xy=(1+x^2 )^2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

29.01.2023 13:52:31

★

Разделим обе части уравнения на (1+x^2)

[m]y`-\frac{2x}{1+x^2}y=1+x^2[/m]

Линейное дифференциальное уравнение вида

[m]y`+p(x)y=q(x)[/m]
[m]p(x)=-\frac{2x}{1+x^2}[/m]
[m]q(x)=1+x^2[/m]

Решаем методом Бернулли


Решение уравнение представим в виде произведения двух функций:

[m]y(x)=u(x)\cdot v(x)[/m]

Для простоты:

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:

[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v`(x)-\frac{2x}{1+x^2}u(x)\cdot v(x)=1+x^2[/m]

Группируем

[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot (v`(x)-\frac{2x}{1+x^2}\cdot v(x))=1+x^2[/m]



Функции [m]u(x)[/m] и [m]v(x)[/m] - произвольные

Выберем условия на функцию v ( пусть выражение в скобках равно 0)

[m]v`(x)-\frac{2x}{1+x^2}\cdot v(x)=0[/m]

тогда уравнение принимает вид:

[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot (0)=1+x^2[/m]


Решаем первое уравнение с разделяющимися переменными
[m]v`(x)-\frac{2x}{1+x^2}\cdot v(x)=0[/m]


[m]\frac{dv}{dx}=\frac{2x}{1+x^2}\cdot v(x)[/m]

[m]\frac{dv}{v}=\frac{2x}{1+x^2}dx[/m]


[m] ∫ \frac{dv}{v}= ∫ \frac{2x}{1+x^2}dx[/m]

[m]ln|v|=ln|1+x^2|[/m] ⇒ [m] v=1+x^2[/m]


Подставляем во второе уравнение

[m]u`(x)\cdot v(x)=1+x^2[/m]
[m]u`(x)\cdot (1+x^2)=1+x^2[/m] ⇒ [m]u`(x)=1[/m] ⇒[m]u(x)=C[/m]


[m]y(x)=u(x)\cdot v(x)[/m]

[m]y(x)=С\cdot (1+x^2)[/m] - о т в е т