Задача 68749 Решите дифференциальное...

63d63178e5e6691aaa794b87

29.01.2023 12:43:01

Решите дифференциальное уравнение:
xy'=xe^(y/x)+y

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.01.2023 00:33:32

★

Делим на х

[m]y`=e^{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}[/m] - однородное уравнение 1 порядка вида [m]y`= φ (\frac{y}{x})[/m]

Замена
[m]\frac{y}{x}=u[/m] ⇒ [m]y=ux[/m] ⇒ [m]y`=u`\cdot x+u\cdot x`[/m]

x`=1, так как х- независимая переменная


[m]u`\cdot x+u=e^{u}+u[/m]

[m]u`\cdot x=e^{u}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными

[m]\frac{du}{dx}\cdot x=e^{u}[/m]

[m]e^{-u}du=\frac{dx}{x}[/m]

Интегрируем:
[m] ∫ e^{-u}du= ∫ \frac{dx}{x}[/m]

[m]-e^{u}=ln|x|+lnC[/m]

[m]e^{\frac{y}{x}}=-lnCx[/m]- общее решение