Задача 68748 Решите дифференциальное...
Условие
y''-6y'+9y=e^x
Решение
y_(общее неодн)=у_(общее одн)+y_(частное неодн)
Решаем [i]однородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
y`` -6y`+9y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-6k+9=0
k_(1)= k_(2)=3- корни характеристического уравнения , действительный кратный корень
В этом случае общее решение имеет вид:
y=C_(1)*e^(kx)+C_(2)*x*e^(kx)
[b]y=C_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)[/b] - общее решение [i]однородного[/i] уравнения 2y`` +y`-y =0
Частное решение находим в виде, который зависит от правой части y=e^(x)
k=1
и не совпадает с корнями k_(1)= k_(2)=3
характеристического уравнения
y_(частное неодн)=Ae^(x)
y`_(частное неодн)=Ae^(x)
y``_(частное неодн)=Ae^(x)
Подставляем в данное уравнение
Ae^(x)-6Ae^(x)+9e^(x)=e^(x)
4A=1
A=1/4
y_(частное неодн)=e^(x)
О т в е т
y_(общее неодн)=C_(1)*e^(3x)+C_(2)*x*e^(3x)+(1/4)*e^(x)