Задача 68747 Решите дифференциальное...
Условие
y'+2y=4xe^(-x^2 )
Решение
[m]y`+p(x)y=q(x)[/m]
[m]p(x)=2[/m]
[m]q(x)=4xe^{-x^2}[/m]
Решаем методом Бернулли
Решение уравнение представим в виде произведения двух функций:
[m]y(x)=u(x)\cdot v(x)[/m]
Для простоты:
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v`(x)+2u(x)\cdot v(x)=4xe^{-x^2}[/m]
Группируем
[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot (v`(x)+2\cdot v(x))=4xe^{-x^2}[/m]
Функции [m]u(x)[/m] и [m]v(x)[/m] - произвольные
Выберем условия на функцию v ( пусть выражение в скобках равно 0)
[m]v`(x)+2\cdot v(x)=0[/m]
тогда уравнение принимает вид:
[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot (0)=4xe^{-x^2}[/m]
Решаем первое уравнение , это уравнение с разделяющимися переменными
[m]v`(x)+2\cdot v(x)=0[/m]
[m]\frac{dv}{dx}=-2\cdot v(x)[/m]
[m]\frac{dv}{v}=-2dx[/m]
Интегрируем:
[m] ∫ \frac{dv}{v}=-2 ∫ dx[/m]
[m]ln|v|=-2x|[/m] ⇒ [m] v=e^{-2x+[/m]
Подставляем во второе уравнение
[m]u`(x)\cdot v(x)=4xe^{-x^2}[/m]
[m]u`(x)\cdot e^{-2x}=4xe^{-x^2}[/m] ⇒ [m]u`(x)=4xe^{-x^2+2x}[/m] ⇒[m]u(x)= ∫ 4xe^{-x^2+2x}dx[/m] =?
мне кажется [i]опечатка[/i] в условии
[m]y(x)=u(x)\cdot v(x)[/m]