Задача 68744 Решите дифференциальное...

63d63178e5e6691aaa794b87

29.01.2023 12:35:22

Решите дифференциальное уравнение:
xy'-y/(x+1)=x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.01.2023 00:41:21

★

Делим на x:

[m]y`-\frac{1}{x(x+1)}y=1[/m]


Линейное дифференциальное уравнение вида

[m]y`+p(x)y=q(x)[/m]
[m]p(x)=-\frac{1}{x(x+1)}[/m]
[m]q(x)=1[/m]

Решаем методом Бернулли


Решение уравнение представим в виде произведения двух функций:

[m]y(x)=u(x)\cdot v(x)[/m]

Для простоты:

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение:

[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v`(x)-\frac{1}{x(x+1)}\cdot u(x)\cdot v(x)=1[/m]

Группируем

[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot (v`(x)-\frac{1}{x(x+1)}\cdot v(x))=1[/m]



Функции [m]u(x)[/m] и [m]v(x)[/m] - произвольные

Выберем условия на функцию v ( пусть выражение в скобках равно 0)

[m]v`(x)-\frac{1}{x(x+1)}\cdot v(x)=0[/m]

тогда уравнение принимает вид:

[m]u`(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot (0)=1[/m]


Решаем первое уравнение , это уравнение с разделяющимися переменными
[m]v`(x)-\frac{1}{x(x+1)}\cdot v(x)=0[/m]


[m]\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x(x+1)}\cdot v(x)[/m]

[m]\frac{dv}{v}=\frac{1}{x(x+1)}dx[/m]

Интегрируем:

[m] ∫ \frac{dv}{v}= ∫\frac{1}{x(x+1)} dx[/m]

[m] ∫ \frac{dv}{v}= ∫(\frac{1}{x} -\frac{1}{x+1})dx[/m]

[m]ln|v|=ln|x|-ln|x+1|[/m] ⇒ [m] v=\frac{x}{x+1}[/m]

Подставляем во второе уравнение

[m]u`(x)\cdot v(x)=1[/m]
[m]u`(x)\cdot \frac{x}{x+1}=1[/m] ⇒ [m]u`(x)=\frac{x+1}{x}dx[/m] ⇒[m]u(x)= ∫ (1+\frac{1}{x})dx[/m]
⇒[m]u(x)= x+lnx+C[/m]



[m]y(x)=u(x)\cdot v(x)[/m]

[m]y(x)=(x+lnx+C)\cdot \frac{x}{x+1}[/m]