Задача 68743 Решите дифференциальное...

63d63178e5e6691aaa794b87

29.01.2023 12:34:02

Решите дифференциальное уравнение:
2xyy'=x^2-y^2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.01.2023 13:03:35

★

[m]y`=\frac{x^2-y^2}{2xy}[/m]- однородное уравнение первого порядка вида [m]y`=\frac{P(x;y)}{Q(x;y)}[/m]

[m]P(x;y)=x^2-y^2[/m] и [m]Q(x;y)=2xy[/m] - однородные функции 2-го порядка


Замена
[m]\frac{y}{x}=u[/m] ⇒ [m]y=ux[/m] ⇒ [m]y`=u`\cdot x+u\cdot x`[/m]

x`=1, так как х- независимая переменная


[m]u`\cdot x+u=\frac{x^2-(ux)^2}{2x\cdot ux}[/m]

[m]u`\cdot x+u=\frac{x^2(1-u^2)}{2x\cdot ux}[/m]

[m]u`\cdot x+u=\frac{1-u^2}{2\cdot u}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными


[m]\frac{du}{dx}\cdot x=\frac{1-u^2}{2\cdot u}-u[/m]

[m]\frac{du}{dx}\cdot x=\frac{1-3u^2}{2\cdot u}[/m]

[m]\frac{2\cdot udu}{1-3u^2}=\frac{dx}{x}[/m]

Интегрируем:
[m] ∫ \frac{2\cdot udu}{1-3u^2}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]


[m]-\frac{1}{3}ln|1-3u^2|=ln|x|-ln\sqrt[3]{C}[/m]
[m]ln|1-3u^2|=lnC\cdot\frac{1}{x^3}[/m]
[m]u=\frac{y}{x}[/m]

[m]l1-3(\frac{y}{x})^2=\frac{C}{x^{3}}[/m]- общее решение