Задача 68742 Решите дифференциальное уравнение...
Условие
Решение
y_(общее неодн)=у_(общее одн)+y_(частное неодн)
Решаем [i]однородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
2y`` +y`-y =0
Составляем характеристическое уравнение:
2k^2+k-1=0
D=1-4*2*(-1)=9
k=-1; k=1/2 корни характеристического уравнения , действительные различные.
В этом случае общее решение имеет вид:
y=C_(1)*e^(k_(1)*x)+C_(2)*e^(k_(2)*x)
[b]y=C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^((1/2)x)[/b] - общее решение [i]однородного[/i] уравнения 2y`` +y`-y =0
Частное решение находим в виде, который зависит от правой части и корней характеристического уравнения
Правая часть y=2e^(x)
k=1
и не совпадает с корнями k1=-1; k2=1/2
характеристического уравнения
Поэтому
y_(частное неодн)=Ae^(x)
y`_(частное неодн)=Ae^(x)
y``_(частное неодн)=Ae^(x)
Подставляем в данное уравнение
2*Ae^(x)+Ae^(x)-Ae^(x)=2*e^(x)
2A=2
A=1
y_(частное неодн)=e^(x)
О т в е т
y_(общее неодн)=C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^((1/2)x)+e^(x)