Задача 68737 Пусть x = arcsin 3/5. Доказать, что...

63d60f4a3e4f7410a97d3784

29.01.2023 09:20:37

Пусть x = arcsin 3/5. Доказать, что число 5^(17)sin 17x – целое и найти его остаток от деления на 5.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

29.01.2023 09:54:11

★

x = arcsin 3/5 ⇒ sinx=3/5 и x ∈[-π/2;π/2] ⇒

cos^2x=1-sin^2x

cosx= 4/5

sin[b]2x[/b]=2sinx*cosx=2*(3/5)*( 4/5)=24/25 ⇒ cos2x=7/25


sin[b]3x[/b]=sin(x+2x)=sinx*cos2x+cosx*sin2x=(3/5)*(7/25)+(4/5)*(24/25)=117/125⇒

cos3x=cos(x+2x)=cosx*cos2x-sinx*sin2x=(4/25)*(7/25)-(3/5)*(24/25)=-44/125


sin[b]5x[/b]=sin(3x+2x)=sin3x*cos2x+cos3x*sin2x=(117/125)*(7/25)+(-44/125)*(24/25)= (117*7-44*24)/[b]5^5[/b]

cos5x=cos(3x+2x)=cos3x*cos2x-sin3x*sin2x=(-44/125)*(7/25)*-(117/125)*(24/25)=(-44*7-117*24)/[b]5^5[/b]


См. формулу тройного угла в скрине:

sin[b]15[/b]x=sin3*(5x)=3*sin5x-4*(sin5x)^3=...

cos15x=4*(cos5x)^3-3*cos5x=



sin[b]17[/b]x=sin(15x+2x)=sin15x*cos2x+cos15x*sin2x=...


5^(17)*sin17x=