Задача 68724 Вариант - 2 Вычислите пределы функций:...

63216eddc27a277d2dda5503

28.01.2023 18:12:26

Вариант - 2 Вычислите пределы функций: вн КЯ а8 х1 › Зх? + 4х — 1 2 X s +x ' х3 — 8 3 - . а-4 4 g X100 im ——; Ра —к х + 2\ 5 (—) . «н \х + 3

626fab9a354ab65fb2f43abb

28.01.2023 20:05:32

★

1) [m]\lim \limits_{x \to 3} \frac{3x^2-5x+4}{x+1} = \frac{3 \cdot 3^2-5 \cdot 3+4}{3+1} = \frac{27-15+4}{4}=\frac{16}{4}=4[/m]
Здесь никакой неопределенности не возникает, поэтому можно просто подставить предел в выражение.

2) [m]\lim \limits_{x \to \infty} \frac{3x^2+4x-1}{x^2+x} =\frac{\infty}{\infty}=\lim \limits_{x \to \infty} \frac{3+4/x-1/x^2}{1+1/x} = \frac{3+0-0}{1+0}=3[/m]
Здесь неопределённость вида oo/oo, поэтому делим числитель и знаменатель на x в старшей степени, то есть на x^2.

3) [m]\lim \limits_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} =\frac{8-8}{4-4} = \frac{0}{0} = \lim \limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}[/m]
Здесь неопределённость вида 0/0, поэтому раскладываем числитель и знаменатель на скобки. Одинаковые скобки (x-2) сокращаем.
[m]\lim \limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)} = \lim \limits_{x \to 2} \frac{x^2+2x+4}{x+2} = \frac{2^2+2 \cdot 2+4}{2+2}= \frac{4+4+4}{4} = 3[/m]

4) [m]\lim \limits_{x \to 10} \frac{x^2-100}{3-\sqrt{x-1}} =\frac{10^2-100}{3-\sqrt{10-1}} = \frac{0}{0} = \lim \limits_{x \to 10} \frac{(x-10)(x+10)(3+\sqrt{x-1})}{(3-\sqrt{x-1})(3+\sqrt{x-1})} = \lim \limits_{x \to 10} \frac{(x-10)(x+10)(3+\sqrt{x-1})}{9-(x-1)}[/m]
Здесь неопределённость вида 0/0, поэтому раскладываем числитель на скобки. А знаменатель умножаем на сопряженное (3+sqrt(x-1)). Одинаковые скобки (x-10) сокращаем.
[m]\lim \limits_{x \to 10} \frac{(x-10)(x+10)(3+\sqrt{x-1})}{9-(x-1)} = \lim \limits_{x \to 10} \frac{(x-10)(x+10)(3+\sqrt{x-1})}{10-x} = \lim \limits_{x \to 10} \frac{(x+10)(3+\sqrt{x-1})}{-1}=[/m]
[m]=-(10+10)(3+\sqrt{10-1}) = -20(3+3) = -120[/m]

5) [m]\lim \limits_{x \to \infty} (\frac{x+2}{x+3})^{5x} =\lim \limits_{x \to \infty} (\frac{x+3-1}{x+3})^{5x} =\lim \limits_{x+3 \to \infty} (1 - \frac{1}{x+3})^{5(x+3)-15}[/m]
По 2 Замечательному пределу в наиболее общей формулировке:
[m]\lim \limits_{z \to \infty} (1 + \frac{m}{z})^{kz} = e^{mk}[/m]
В нашем случае m = -1; k = 5, поэтому:
[m]\lim \limits_{x+3 \to \infty} (1 - \frac{1}{x+3})^{5(x+3)-15} = e^{-5} \cdot \lim \limits_{x+3 \to \infty} (1 - \frac{1}{x+3})^{-15} = e^{-5} \cdot (1 - 0)^{-15} = e^{-5}[/m]