Задача 68702 Найти решение задачи Коши (ДУ 1 порядка)...
Условие
Решение
Сначала решаем собственно однородное ДУ 1 порядка.
Замена y = x*t(x); y' = t(x) + x*t'(x); t(x) = y/x
t + x*t' = x/(x*t) = 1/t
x*dt/dx = 1/t - t = (1 - t^2)/t
x*dt = (1 - t^2)/t*dx
t*dt/(1 - t^2) = dx/x
Уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем обе части.
-1/2*Int d(t^2 - 1)/(t^2 - 1) = Int dx/x
-1/2*ln(t^2 - 1) = ln x + ln C
ln (1/sqrt(t^2 - 1)) = ln(Cx)
1/sqrt(t^2 - 1) = Cx
1/(t^2 - 1) = C^2*x^2
t^2 - 1 = 1/(C^2*x^2) = C/x^2
Константу можно выразить как угодно: как C или как 1/C^2.
t^2 = (y/x)^2 = 1 + C/x^2 = (x^2 + C)/x^2
y^2/x^2 = (x^2 + C)/x^2
y^2 = x^2 + C
y = sqrt(x^2 + C)
Теперь решаем задачу Коши.
y(1) = 1
1 = sqrt(1^2 + C)
1 = 1 + C
C = 0
y = sqrt(x^2 + 0) = sqrt(x^2) = |x|
[b]Ответ: y = |x|[/b]