Задача 68694 Найти общее и частное решение...

63d373f1cea7f96b039d9eaa

27.01.2023 15:53:18

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

y' '-4y'+4y=-3x^(2)+3x; y(0)=3, y'(0)=4/3

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.01.2023 18:37:14

★

3)
Линейное [i]неоднородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное неодн)



Решаем [i]однородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y`` - 4y`+4y =0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+4=0

k_(1)= k_(2)=2- корни характеристического уравнения , действительные кратные.


В этом случае общее решение имеет вид:

y=C_(1)*e^(kx)+C_(2)*xe^(kx)


[b]y_(общее одн)=C_(1)e^(2x)+C_(2)*x*e^(2x)-[/b] - общее решение[i]однородного [/i] уравнения



Частное решение находим в виде, который зависит от правой части и корней характеристического уравнения


y_(частное неодн)=Ax^2+Bx+C


Находим производные:

y`_(частное неодн)=2Ax+B

y``_(частное неодн)=2A


Подставляем в данное уравнение и [b]находим А. В. С[/b]


2А-4*(2Ax+B)+4*(Ax^2+Bx+C)=-3x^2+3x

4A=-3
(4B-8A)=3
2A-4B+4C=0

A=-3/4
B=-1
C=5/8

y_(частное неодн)=(-3/4)x^2-x+(5/8)

[b]y_(общее неодн)[/b]=y_(общее одн)+y_(частное неодн)=[b]C_(1)e^(2x)+C_(2)*x*e^(2x)+(-3/4)x^2-x+(5/8)[/b]


Решение задачи с начальными условиями
y(0)=3
y_(0)=C_(1)e^(2*0)+C_(2)*0*e^(2*0)+(-3/4)*0^2-0+(5/8)

3=C_(1)+(5/8)
C_(1)=19/8

y`(0)=4/3

y`=(C_(1)e^(2x)+C_(2)*x*e^(2x)+(-3/4)x^2-x+(5/8))`


y`=2C_(1)e^(2x)+C_(2)*e^(2x)+2*C_(2)*x*e^(2x)+(-3/2)x-1

y`(0)=2C_(1)e^(2*0)+C_(2)*e^(2*0)+2*C_(2)*0*e^(2*0)+(-3/2)*0-1

(4/3)=2*(19/8)+C_(2)-1

C_(2)=-29/4

[b]y=(19/8)e^(2x)+(-29/4)*x*e^(2x)+(-3/4)x^2-x+(5/8)
[/b]