Задача 68680 В треугольнике одна из сторон равна 13...

632f635587d19127bff140f0

26.01.2023 21:36:19

В треугольнике одна из сторон равна 13 см, а разность двух других – 1 см. Найдите эти две стороны, если радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 4 см.

626fab9a354ab65fb2f43abb

27.01.2023 09:53:16

★

Стороны треугольника: a = 13 см, b = x см, c = x + 1 см.
Радиус вписанной окружности: r = 4 см.
Площадь треугольника по формуле Герона:
p = (a+b+c)/2 = (13+x+x+1)/2 = (2x+14)/2 = x + 7 см
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt((x+7)(x-6)*7*6) см^2
По другой формуле площадь треугольника:
S = p*r = (x + 7)*4 см^2
Приравниваем правые части этих формул:
sqrt(42(x+7)(x-6)) = 4(x + 7)
Возводим в квадрат:
42(x^2 + x - 42) = 16(x^2 + 14x + 49)
21(x^2 + x - 42) = 8(x^2 + 14x + 49)
21x^2 + 21x - 882 = 8x^2 + 112x + 392
13x^2 - 91x - 1274 = 0
x^2 - 7x - 98 = 0
(x - 14)(x + 7) = 0
x = - 7 - не подходит по смыслу задачи.
x = 14 см - подходит.

Ответ: b = 14 см; c = 15 см.