Задача 68661 Найдите максимальное значение выражения ...
Условие
Решение
Область определения: x ∈ (-oo; +oo),
потому что знаменатель не равен 0 ни при каком x.
Максимум будет в точке, в которой y' = 0
[m]y' = \frac{2x*(x^4 + 33/256) - (x^2 + 1)*4x^3}{(x^4 + 33/256)^2}= \frac{2x^5 + 33x/128 - 4x^5 - 4x^3}{(x^4 + 33/256)^2} = 0[/m]
[m]\frac{-2x^5 - 4x^3 + 33x/128}{(x^4 + 33/256)^2} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то ее числитель равен 0, а знаменатель нет.
-2x^5 - 4x^3 + 33x/128 = 0
Умножаем всё на -128 и выносим x за скобки:
x(256x^4 + 512x^2 - 33) = 0
x1 = 0; [m]y(0) = \frac{1}{33/256} = \frac{256}{33} ≈ 7,76 < 8[/m]
В скобках стоит биквадратное уравнение. Решаем его:
D/4=256^2-256*(-33)=256*(256+33)=256*289=(16*17)^2=272^2
x^2 = (-256 - 272)/256 < 0 - не подходит
x^2 = (-256 + 272)/256 = 16/256 = 1/16
x2 = -1/4; [m]y(-\frac{1}{4}) = \frac{1/16 + 1}{1/256 + 33/256} = \frac{17/16}{34/256} = \frac{17}{16} \cdot \frac{256}{34} = \frac{16}{2} = 8[/m]
x3 = 1/4; [m]y(\frac{1}{4}) = \frac{1/16 + 1}{1/256 + 33/256} = \frac{17/16}{34/256} = \frac{17}{16} \cdot \frac{256}{34} = \frac{16}{2} = 8[/m]
Ответ: y(-1/4) = y(1/4) = 8