Задача 68656 Найти полный дифференциал функции...

63d2214fc23c7b292a9a12d6

26.01.2023 09:46:05

Найти полный дифференциал функции z=arctg^2(x*y)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26.01.2023 10:14:29

★

Находим частные производные

[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(arctg^2(xy))`_{x}=-\frac{1}{arctg(xy)}\cdot (arctg(xy))`_{x} =-\frac{1}{arctg(xy)}\cdot \frac{1}{1+(xy)^2} \cdot (xy)`_{x}-\frac{1}{arctg(xy)}\cdot \frac{1}{1+x^2y^2}\cdot y[/m]

[m]\frac{ ∂z}{ ∂y }=((arctg^2(xy))`_{y}=-\frac{1}{arctg(xy)}\cdot (arctg(xy))`_{y}=-\frac{1}{arctg(xy)}\cdot \frac{1}{1+(xy)^2} \cdot (xy)`_{y}=-\frac{1}{arctg(xy)}\cdot \frac{1}{1+x^2y^2}\cdot x [/m]

Полный дифференциал:

[m]dz=\frac{ ∂z }{ ∂x }dx+\frac{ ∂z }{ ∂y }dy[/m]

[m]dz=-\frac{1}{(1+x^2y^2)\cdot arctg(xy)}(ydx+xdy)[/m]