Задача 68613 Составить уравнение гиперболы, фокусы...
Условие
относительно начала координат, если известны координаты точки М (-5, 3), принадлежащей гиперболе и ее эксцентриситет (картинка)
Решение
Каноническое уравнение гиперболы,
фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат:
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
a- действительная полуось
b- мнимая полуось
[b]b^2=c^2-a^2[/b]
2)
точка М (–5, 3) принадлежит гиперболы.
Подставляем координаты в уравнение:
[m]\frac{(-5)^2}{a^2}-\frac{3^2}{b^2}=1[/m] - верное равенство ⇒ [m]25b^2-9a^2=a^2b^2[/m]
[b]b^2=c^2-a^2[/b]
[m]25(c^2-a^2)^2-9a^2=a^2(c^2-a^2)^2[/m]
3)
[m]ε =\frac{c}{a}[/m]
[m]ε =\frac{c}{a}[/m]⇒ [m]\sqrt{2} =\frac{c}{a}[/m] ⇒ [m]c= \sqrt{2}\cdot a [/m]
Подставляем в равенство, полученное в пункте 2)
[m]25( \sqrt{2}\cdot a)^2-a^2)^2-9a^2=a^2( (\sqrt{2}\cdot a)^2-a^2)^2[/m]
Решаем биквадратное уравнение
a^2=
b^2=
Подставляем в каноническое уравнение пункт 1)
==========
