Задача 68585 Найти область сходимости степенного ряда...
Условие
математика ВУЗ
87
Решение
★
[m] a_n = \frac{5^n}{6^n \sqrt[3]{n}} \cdot x^n[/m]
По признаку Даламбера, если предел:
[m] \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1[/m]
Тогда ряд сходится.
[m] \lim \limits_{n \to \infty} \frac{5^{n+1}}{6^{n+1} \sqrt[3]{n+1}} \cdot x^{n+1} : (\frac{5^n}{6^n \sqrt[3]{n}} \cdot x^n) = [/m]
[m] \lim \limits_{n \to \infty} \frac{5^{n+1}}{5^{n}} \cdot \frac{6^{n}}{6^{n+1}} \cdot \frac{\sqrt[3]{n}} {\sqrt[3]{n+1}} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n} = \frac{5}{6} \cdot 1 \cdot x [/m]
Получаем неравенство:
5/6*|x| < 1
|x| < 6/5
Область сходимости: (-6/5; 6/5)