Задача 68565 1. Решить систему уравнений: ... 2....
Условие
...
2. Решить задачу ( подробно)
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 65, а разность катетов треугольника равна 23. Найдите площадь треугольника.
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x=3+y\\2\cdot (3+y)^2-2\cdot (3+y)\cdot y+y^2=10\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x=3+y\\18+12y+2y^2-6y-2y^2+y^2=10\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x=3+y\\y^2+6y+8=0\end {matrix}\right.[/m]
D=35-4*8=4
[m]\left\{\begin {matrix}x=3+y\\y_{1}=\frac{-6-2}{2}\end {matrix}\right.[/m] или[m]\left\{\begin {matrix}x=3+y\\y_{2}=\frac{-6+2}{2}\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x=3+(-4)\\y_{1}=-4\end {matrix}\right.[/m] или[m]\left\{\begin {matrix}x=3+(-2)\\y_{2}=-2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x=-1\\y_{1}=-4\end {matrix}\right.[/m] или[m]\left\{\begin {matrix}x=1\\y_{2}=-2\end {matrix}\right.[/m]
О т в е т.[b] (-1;-4); (1:-2)[/b]
2.
По теореме Пифагора
a^2+b^2=65^2
По условию
a-b=23
Получили систему уравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}a^2+b^2=65^2\\a-b=23\end {matrix}\right.[/m]
Решение способом подстановки нецелесообразно, так как приводит к квадратному уравнению, дискриминант которого не есть точный квадрат
И потому получим иррациональные корни
Поэтому
Возводим второе в квадрат
[m]\left\{\begin {matrix}a^2+b^2=65^2\\a^2-2ab+b^2=23^2\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}a^2+b^2=65^2\\65^2-23^2=2ab\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}a^2+b^2=65^2\\3696=2ab\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}a^2+b^2=65^2\\1848=ab\end {matrix}\right.[/m]
Нам нужно как раз произведение катетов, так как
S_( Δ)=(1/2)ab
S_( Δ)=(1/2)*1848
S_( Δ)=924