Задача 68530 Найти частное решение ...

61ac70c42827ed291d937b6b

21.01.2023 17:46:07

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.01.2023 18:48:48

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

у_(общее неодн.)=y_( общее одн.)+y_(част)


Решаем однородное:[m] y``-6y`+9y=0[/m]

Составляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-6k+9=0[/m]

[m]k_{1}= k_{2}=3[/m]– корни действительные кратные

Общее решение однородного уравнения в этом случае имеет вид:

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(k*x)+C_(2)*t*e^(k*x)

Подставляем k=3

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(3*x)+C_(2)*x*e^(3*x)

Правая часть f(t)=4e^(x)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ae^(x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=(Ae^(x))`=Ae^(x)


y``_(част)=(y`)`=Ae^(x)


подставляем в данное уравнение:

Ae^(x)-6Ae^(x)+9Ae^(x)=4e^(x)

4А=4

А=1


y_(част)=e^(x)

О т в е т.
Общее решение неоднородного уравнения:
у=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)*e^(3*x)+C_(2)*x*e^(3*x)+e^(x)


Задача Коши

Начальные условия:

y(0)=3
y`(0)=8


y=С_(1)*e^(3*x)+C_(2)*x*e^(3*x)+e^(x)

y`=С_(1)*e^(3*x)*3+C_(2)*(e^(3*x)+xe^(3*x)*3)+e^(x)



y(0)=3 ⇒
y(0)=С_(1)*e^(3*0)+C_(2)*0*e^(3*0)+e^(0)⇒

3=C_(1)+1 ⇒ C_(1)=2

y`(0)=1 ⇒ y`(0)=С_(1)*e^(3*0)*3+C_(2)*(e^(3*0)+0*e^(3*0)*3)+e^(0)
8=3C_(1)+C_(2)+1 ⇒ C_(2)=1


у=2*e^(3*x)+x*e^(3*x)+e^(x)
- решение соответствующее начальным условиям