Задача 68529 Найти общее решение дифференциального...
Условие
xy' - y = xtg(y/x)
(y')^2 + 2yy'' = 0
Решение
[m]y`-\frac{y}{x}=tg\frac{y}{x}[/m]
Получили однородное уравнения вида
y`= φ (y/x)
Метод замены
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u`
y`=u+x*u`
Подставляем в уравнение
[m]y`-\frac{y}{x}=tg\frac{y}{x}[/m]
Получаем
[m]u+x\cdot u`-u=tgu[/m]
[m]x\cdot u`=tgu[/m]- уравнение с разделяющимися переменными
[m]x\cdot \frac{du}{dx}=tgu[/m]
[m]\frac{du}{tgu}=\frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем:
[m] ∫ \frac{du}{tgu}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m] ∫ \frac{cosudu}{sinu}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
Табличные интегралы ( см. скрин)
[m] ∫ \frac{d(sinu)}{sinu}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m]ln|sinu|=ln|x|+lnC[/m]
[m]ln|sinu|=lnC\cdot |x|[/m]
[m]sinu=C\cdot x[/m]
Обратная замена
[m]sin\frac{y}{x}=C\cdot x[/m]
2.
Замена
[m]y`=z[/m]
тогда
[m]y``=z`\cdot y`[/m]
[m]y``=z`(y)\cdot z[/m]
Уравнение принимает вид:
[m](z)^2+2y\cdot z`\cdot z=0[/m]
[m]z=0[/m]
или
[m]z+2y\cdot z`=0[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m]z+2y\cdot \frac{dz}{dy}=0[/m]
[m]2 \frac{dz}{z}=-\frac{dy}{y}[/m]
Интегрируем:
[m]2 ∫ \frac{dz}{z}=- ∫ \frac{dy}{y}[/m]
[m]2ln|z|=-ln|y|+lnC^2_{1}[/m]
[m]ln|z|^2=ln\frac{C^2_{1}}{|y|}[/m]
[m]z^2=\frac{C^2_{1}}{y}[/m]
[m]z=\frac{C_{1}}{\sqrt{y}}[/m]
Обратная замена
[m]y`=\frac{C_{1}}{\sqrt{y}}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m]\sqrt{y}dy=C_{1}dx[/m]
[m]\frac{y^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=C_{1}x+C_{2}[/m]
[m]\frac{2}{3}y\cdot \sqrt{y}=C_{1}x+C_{2}[/m]
========
