Задача 68526 Натуральные числа m и n таковы, что...

6305ddd6f95bb26127f30eef

21.01.2023 09:53:24

Натуральные числа m и n таковы, что 5^m-2^n делится на 79. Какой остаток может давать число 4m +n при делении на 39?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.01.2023 11:30:41

★

5^(m)–2^(n) делится на 79.


5^(m)–2^(n) = 79*k


5^(m) оканчивается на 0 или на 5



Если 5^(m) оканчивается на 5, значит число 5^(m) нечетное



2^(n)- число четное

Разнoсть нечетного и четного числа - число нечетное, т.е k- нечетное

k=1
79*1 =79- оканчивается на 9
k=3
79*3- оканчивается на 7
k=5
79*5 - оканчивается на 5
k=7
79*7-оканчивается на 3
k=9
79*9- оканчивается на 1

⇒
k=5 не удовлетворяет условию задачи
5^(m)-79*5- оканчивается на 0

Ни одна степень двойки не оканчивается нулем


2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
k=1 не удовлетворяет условию задачи
79*1 =79- оканчивается на 9
...


Подойдут

k=3
79*3- оканчивается на 7
тогда
5^(m)-79*k оканчивается на 8

k=7
79*7-оканчивается на 3
тогда
5^(m)-79*k оканчивается на 2

k=9
79*9- оканчивается на 1

тогда
5^(m)-79*k оканчивается на 4

⇒
n не кратно 4

n=4p+1 ⇒ 4m+n=4m+4p+1=4*(m+p)+1
n=4p+2⇒ 4m+n=4m+4p+2=4*(m+p)+2
n=4p+3⇒ 4m+n=4m+4p+3=4*(m+p)+3


4*(m+p) кратно 4


При делении какого-нибудь числа на 39 можно получить

39 вариантов остатков:
от 0 до 38

Так как речь идет о числах вида:

4m+n=4*(m+p)+1
4m+n=4*(m+p)+2
4m+n=4*(m+p)+3

то количество вариантов уменьшится.

Перебор утомителен