Задача 68499 Найти указанные пределы, используя...
Условие
Решение
[m]lim_{x → ∞ }(π-2arcgx)\cdot lnx=[/m] неопределенность (0* ∞ )
Нельзя применить правило Лопиталя.
Представим произведение
[m]u\cdot v[/m] виде дроби[m]\frac{u}{\frac{1}{v}}[/m] или [m]\frac{v}{\frac{1}{u}}[/m]
[m]lim_{x → ∞ }(π-2arcgx)\cdot lnx=lim_{x → ∞ }\frac{lnx}{\frac{1}{π-2arcgx }}=[/m]
применяем правило Лопиталя:
[m]=lim_{x → ∞ }\frac{(lnx)`}{(\frac{1}{π-2arcgx })`}=lim_{x → ∞ }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{(π-2axtgx)^2}\cdot (π-2arcgx)`}=lim_{x → ∞ }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{(π-2axtgx)^2}\cdot (-2\cdot \frac{1}{1+x^2})}=lim_{x → ∞ }\frac{(π-2axtgx)^2\cdot (1+x^2)}{2x}[/m]
неопределенность ( ∞ / ∞ )
Применяем правило Лопиталя:
[m]=lim_{x → ∞ }\frac{((π-2axtgx)^2\cdot (1+x^2))`}{(2x)`}=lim_{x → ∞ }\frac{...}{2}[/m]
В знаменателе 2.
Значит ответ получим... Осталось найти производную числителя и досчитать предел
2.
[m]lim_{x → 0 }\frac{tgx-x}{2sinx+x}=[/m] неопределенность (0/0 )
Применяем правило Лопиталя:
[m]lim_{x → 0 }\frac{(tgx-x)`}{(2sinx+x)`}=lim_{x → 0 }\frac{\frac{1}{cos^2x}-1}{2cosx+1}=\frac{1-1}{2+1}=0[/m]
3.
Неопределенность 1^{ ∞ }
Нельзя применить правило Лопиталя.
Пусть
[m]y=(\frac{sinx}{x})^{\frac{1}{x}}[/m]
Логарифмируем
[m]lny=ln(\frac{sinx}{x})^{\frac{1}{x}}[/m]
Применяем свойство логарифма степени:
[m]lny=\frac{1}{x}ln\frac{sinx}{x}[/m]
[m]lny=\frac{ln\frac{sinx}{x}}{x}[/m] справа частное. Предел такой функции можно найти применив [b]правило Лопиталя[/b]
[m]lim_{x → 0 }lny=lim_{x → 0 }\frac{ln\frac{sinx}{x}}{x}=lim_{x → 0 }\frac{(ln\frac{sinx}{x})`}{(x)`}=lim_{x → 0 }\frac{\frac{1}{\frac{sinx}{x}}\cdot (\frac{sinx}{x})`}{1}=lim_{x → 0 }\frac{x}{sinx}\cdot \frac{x\cdot cosx-sinx}{x^2}=lim_{x → 0 }\frac{x\cdot cosx-sinx}{x\cdot sinx}[/m]
Неопределенность (0/0)
Применяем правило Лопиталя
[m]=lim_{x → 0 }\frac{(x\cdot cosx-sinx)`}{(x\cdot sinx)`}=...[/m]
считайте...