Задача 68498 Найти дифференциалы первого и второго...
Условие
Решение
[m]dz=\frac{ ∂z }{ ∂x }dx+\frac{ ∂z }{ ∂y }dy[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=z`_{x}=(arctg\frac{y}{x})`_{x}[/m]
Применяем формулу: [m] (arctg u)`=\frac{1}{1+u^2}\cdot u`[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot(\frac{y}{x})`_{x}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot y\cdot (-\frac{1}{x^2})[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=\frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot (-\frac{y}{x^2})[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=-\frac{y}{x^2+y^2}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=z`_{y}=(arctg\frac{y}{x})`_{y}[/m]
Применяем формулу: [m] (arctg u)`=\frac{1}{1+u^2}\cdot u`[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot(\frac{y}{x})`_{y}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}\cdot(\frac{1}{x})[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=\frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot (\frac{1}{x})[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=\frac{x}{x^2+y^2}[/m]
[m]dz=-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy[/m]
[m]d^2z=\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2 }dx+2\cdot \frac{ ∂z }{ ∂x }\cdot \frac{ ∂z }{ ∂y }dxdy+\frac{ ∂^2z }{ ∂y^2 }dy[/m]
Находим частные производные второго порядка:
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2 }=(\frac{ ∂z }{ ∂x })`_{x}=(-\frac{y}{x^2+y^2})`_{x}=[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x ∂y}=(\frac{ ∂z }{ ∂x })`_{y}=(-\frac{y}{x^2+y^2})`_{y}=[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂y^2 }=(\frac{ ∂z }{ ∂y })`_{y}=(\frac{x}{x^2+y^2})`_{y}=[/m]