Задача 68488 вычислить интеграл...
Условие
Решение
x= ρ *cos φ
y= ρ *sin φ
x^(2)+ y^(2)= R ^2
(ρ *cos φ )^2+( ρ *sin φ )^2= R ^2
так как cos^(2) φ +sin^(2) φ =1,
то
ρ^2= R ^2
x^2+y^2=ax ⇒ ρ ^2=a* ρ *cos φ ⇒ ρ =a*cos φ
ρ ≥ 0 ⇒
cos φ ≥ 0
-π/2 ≤ φ ≤ π/2
[m]∫_{L}(xy+x+y)dx+(xy+x–y)dy=[/m]
[m]= ∫ _{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}( ρ \cdot cos φ \cdot ρ \cdot sin φ + ρ \cdot cos φ + ρ \cdot sin φ ) \cdot \underbrace {ρ \cdot (-sin φ )d φ}_{dx} +(ρ \cdot cos φ \cdot ρ \cdot sin φ + ρ \cdot cos φ + ρ \cdot sin φ ) \cdot \underbrace {ρ \cdot cos φ d φ}_{dy}=[/m]
ρ =a*cos φ
[m]= ∫ _{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}( -a^3\cdot cos^4 φ \cdot sin^2 φ -a^2\cdot cos^3 φ \cdot sinφ - a^2\cdot cos^2 φ \cdot sin^2 φ+a^3\cdot cos^5 φ \cdot sin φ+a^2cos^4 φ+a^2cos^3 φ sin φ )d φ =[/m]
[m]= ∫ _{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}( -a^3\cdot cos^4 φ \cdot sin^2 φ - a^2\cdot cos^2 φ \cdot sin^2 φ+a^3\cdot cos^5 φ \cdot sin φ+a^2cos^4 φ )d φ =[/m]
Интеграл от суммы равен сумме интегралов
Каждый из четырех интегралов считается отдельно
См. интегрирование тригонометрических выражений
