Задача 68485 задания на уровне ВУЗА...
Условие
Решение
1) (AB) : (x + 7)/(3 + 7) = (y - 2)/(-8 - 2)
(x + 7)/10 = (y - 2)/(-10)
x + 7 = (y - 2)/(-1)
-x - 7 = y - 2
[b]x + y + 5 = 0[/b]
Угловой коэффициент: [b]k = -1[/b]
2) Высота CH - это прямая, перпендикулярная к AB и проходящая через C.
Ее угловой коэффициент равен 1.
(CH) : y - 6 = x + 4
[b](CH) : x - y + 10 = 0[/b]
Найдем координаты точки H:
x + 10 = -x - 5
2x = -15
x = -7,5
y = -7,5 + 10 = 2,5
H(-7,5; 2,5)
Длина высоты:
|CH| = sqrt((-4 + 7,5)^2 + (6 - 2,5)^2) = sqrt(3,5^2 + 3,5^2) = 3,5sqrt(2)
[b]|CH| = 7sqrt(2)/2[/b]
3) Точка M - это середина отрезка BC. Ее координаты:
x = (3 - 4)/2 = -1/2 = -0,5
y = (-8 + 6)/2 = -2/2 = -1
M(-0,5; -1)
Уравнение медианы (AM): (x + 7)/(-0,5 + 7) = (y - 2)/(-1 - 2)
(x + 7)/6,5 = (y - 2)/(-3)
(x + 7)/13 = (y - 2)/(-6)
-6(x + 7) = 13(y - 2)
-6x - 42 = 13y - 26
[b](AM) : 6x + 13y + 16 = 0[/b]
Длина медианы:
|AM| = sqrt((-7 + 0,5)^2 + (2 + 1)^2) = sqrt((-6,5)^2 + 3^2) = sqrt(42,25 + 9)
[b]|AM| = sqrt(51,25)[/b]
4) Точка N пересечения AM и CH. Решаем систему из уравнений этих прямых:
{ x - y + 10 = 0
{ 6x + 13y + 16 = 0
Умножаем 1 уравнение на 13:
{ 13x - 13y + 130 = 0
{ 6x + 13y + 16 = 0
Складываем уравнения:
19x + 0y + 146 = 0
x = -146/19
y = x + 10 = -146/19 + 10 = (190 - 146)/19 = 44/19
[b]N(-146/19; 44/19)[/b]
5) Прямая, проходящая через C параллельно AB, имеет такой же коэффициент k = -1:
y - 6 = -(x + 4)
y - 6 = -x - 4
[b]x + y - 2 = 0[/b]
6) Медиана AM нам уже известна:
[b](AM) : 6x + 13y + 16 = 0[/b]
Найдём другую медиану, например, BK:
Координаты точки K - середины AC:
x = (-7 - 4)/2 = -11/2 = -5,5
y = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4
K(-5,5; 4)
(BK) : (x - 3)/(-5,5 - 3) = (y + 8)/(4 + 8)
(x - 3)/(-8,5) = (y + 8)/12
(x - 3)/(-17) = (y + 8)/24
24(x - 3) = -17(y + 8)
24x - 72 = -17y - 136
[b](BK) : 24x + 17y + 64 = 0[/b]
Найдем точку P пересечения медиан. Решаем систему:
{ 6x + 13y + 16 = 0
{ 24x + 17y + 64 = 0
Умножаем 1 уравнение на -4:
{ -24x - 52y - 64 = 0
{ 24x + 17y + 64 = 0
Складываем уравнения:
0x - 35y + 0 = 0
y = 0
6x + 16 = 0
x = -16/6 = -8/3
[b]P(-8/3; 0)[/b]