Задача 68422 Найти предел функции(фото) не используя...
Условие
Решение
значит надо применить второй замечательный предел
[m]\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}=1+\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}-1=1+\underbrace{\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}-1}_{}=1+\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}-3}{3}[/m]
Так как
[m]lim_{x → 0}(1+\underbrace{\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}-3}{3}}_{})^{\frac{3}{a^{x}+b^{x}+c^{x}-3}}=e[/m]
то
[m]lim_{x → 0}(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3})^{\frac{1}{x}}=lim_{x → 0}(\underbrace{(1+\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}-3}{3})^{\frac{3}{a^{x}+b^{x}+c^{x}-3}}}_{e})^{\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}-3}{3}\cdot \frac{1}{x}}=e^{lim_{x →0\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}-3}{x} }}=[/m]
Применили свойство предела:
[m]lim_{x → a}f(x)^{g(x)}=lim_{x → a}f(x)^{lim_{x → a}g(x)}[/m]
Считаем предел показателя
[m]lim_{x →0}\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}-3}{x} =lim_{x →0}\frac{a^{x}-1+b^{x}-1+c^{x}-1}{x}=lim_{x →0}(\frac{a^{x}-1}{x}+\frac{b^{x}-1}{x}+\frac{c^{x}-1}{x})=lna+lnb+lnc [/m]
Итак
[m]lim_{x → 0}(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3})^{\frac{1}{x}}=e^{lim_{x →0\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}-3}{x} }}=e^{lna+lnb+lnc}=e^{lna}\cdot e^{lnb}\cdot e^{lnc}=a\cdot b\cdot c[/m]