Задача 68387 Задача 5. Исследовать функцию и...
Условие
Задача 6. Найти производные второго порядка функций :
а)у= ln sin^2 2x; б)у=е^x; B) y=sinxcosx
Задача 7. Найти производную n-го порядка:
a)y=x^5 б)у=а^x в) при n =2. у= ...
Задача 8. Исследовать функцию задания 4 на экстремумы с помощью второй
производной.
Решение
a)
[m]y`=(x^5)`=5x^4[/m]
[m]y``=(y)`=(5x^4)`=20x^3[/m]
[m]y```=(y``)`=(20x^3)`=60x^2[/m]
[m]y^((4))=(y```)`=(60x^2)`=120x[/m]
[m]y^((5))=(y^((4)))`=120[/m]
Все остальные производные равны 0, так как производная постоянной равна 0
[m]y^((6))=y^((7))=...=0[/m]
...
[m]y^((n))=0[/m]
б)
[m]y`=(a^{x})`=a^{x}\cdot ln a[/m]
[m]y``=(y)`=(a^{x}\cdot ln a)`=a^{x}\cdot (ln a)^2[/m]
[m]y```=(y``)`=a^{x}\cdot (ln a)^3[/m]
...
[m]y^((n))=a^{x}\cdot (ln a)^{n}[/m]
2.
a)
[m]y`=\frac{1}{sin^22x}\cdot (sin^22x)`[/m]
[m]y`=\frac{1}{sin^22x}\cdot (2sin2x)\cdot(sin2x)`[/m]
[m]y`=\frac{1}{sin^22x}\cdot (2sin2x)\cdot(cos2x)\cdot(2x)`[/m]
[m]y`=\frac{1}{sin^22x}\cdot (2sin2x)\cdot(cos2x)\cdot(2)[/m]
[m]y`=\frac{4cos2x}{sin2x}[/m]
[m]y`=4tg2x[/m]
[m]y``=(y`)`[/m]
[m]y``=(4tg 2x)`[/m]
[m]y``=4\cdot \frac{1}{cos^22x}\cdot (2x)`[/m]
[m]y``=\frac{8}{cos^22x}[/m]
б)
[m]y`=(e^{x})`=e^{x}[/m]
[m]y``=(e^{x})`=e^{x}[/m]
в)[m]y`=(sinx\cdot cosx)`=(sinx)`\cdot cosx+sinx\cdot (cosx)`=cosx\cdot cosx+sinx\cdot (-sinx)=cos^2x-sin^2x=cos2x[/m]
[m]y``=(cos2x)`=(-sin2x)\cdot (2x)`=-2sin2x[/m]
1.Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=(3x-x^3)`=3-3x^2
y`=0
3-3x^2=0
3*(1-x^2)=0
x=-1 или х=1
Расставляем знак производной
Например, так : y`(10) <0
далее чередуем справа налево:
__-__ (-1) _+___ (1) ___-__
х=1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y`< 0 на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
Функция убывает на на (- ∞ ;1) и на (1;+ ∞ )
y`>0 на (-1;1)
Функция возрастает на на (-1;1)
y``=(3-3x^2)`
y``=-6x
y``=0
x=0 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с + на -
y``>0 на (- ∞ ;-0)
Функция выпукла вниз( ∪) на (- ∞ ;0)
y``< 0 на (1;+ ∞ )
Функция выпукла вверх ( ∩) на (0;+ ∞ )
