Задача 68386 Найти точки разрыва функции f(x),...

63756c3349ba8d1cad0bb043

16.01.2023 19:35:09

Найти точки разрыва функции f(x), изучить их характер, по возможности продолжить по непрерывности.
[m]f(x) = (x-1)/(x^2-3*x+2)[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

16.01.2023 20:56:52

★

Область определения

x^2-3x+2 ≠ 0

x ≠ 1; x ≠ 2


Функция непрерывна во всех точках, кроме точек х=1; х=2

как частное непрерывных функций

Значит надо исследовать непрерывность функции в этих точках

Для этого находим пределы слева и справа


b]х=1[/b]

Находим предел слева,
lim_(x →1-0)f(x)=lim_(x →1 -0)(x-1)/(x-1)(x-2)=(0/0) - неопределенность, сокращаем на (х-1)

=lim_(x →1 -0)1/(x-2)=-1

Находим предел справа,
lim_(x →1+0)f(x)=lim_(x →1 +0)(x-1)/(x-1)(x-2)=(0/0) - неопределенность, сокращаем на (х-1)

=lim_(x →1 +0)1/(x-2)=-1

Предел слева равен пределу справа.

Значит существует предел функции в точке

Функция имеет предел в точке, но не определена в этой точке

Значит,

x=1- [i]точка устранимого разрыва[/i]

Доопределить по непрерывности, значит принять значение функции в точке равным пределу

f(1)=-1

[b]х=2[/b]

Находим предел слева,
lim_(x →2-0)f(x)=lim_(x →2 -0)(x-1)/(x-1)(x-2)=(1/-0)=- ∞

Левосторонний предел - [red]бесконечный[/red], значит

х=2 - [i]точка разрыва второго рода[/i]



Находим предел справа,
lim_(x →2+0)f(x)=lim_(x →2 +0)(x-1)/(x-1)(x-2)=(1/+0)=+ ∞