Задача 68379 ...

632b1e6b92faa95f2b61c1d9

16.01.2023 17:34:57

Задача 2. Найти точку графика функции у = Зх^2 — 2х — 3 в которой касательная к графику параллельна оси ОХ.

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y=sin^2x, x ∈ [0; 2Pi]; y = 1/2 x - sinx, x ∈ [0; Pi/2]

Задача 4. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 1/4 x^4 - 2x^2 ее экстремумы.

626fab9a354ab65fb2f43abb

16.01.2023 18:55:47

★

2) y = 3x^2 - 2x - 3
У параболы 1 точка, в которой касательная параллельна оси Ox.
Это вершина параболы.
x0 = -b/(2a) = -(-2)/(2*3) = 1/3
y0 = 3*(1/3)^2 - 2*1/3 - 3 = 3/9 - 2/3 - 3 = - 3 1/3 = -10/3
Это точка [b]M0(1/3; -10/3)[/b]

3) а) y = sin^2 x; x ∈ [0; 2π]
Значения на концах отрезка:
y(0) = sin^2 0 = 0; y(2π) = sin^2 (2π) = 0
Наибольшее и наименьшее значение в точке, где y' = 0.
y' = 2sin x*cos x = sin 2x = 0
2x = π*k, k ∈ Z
x = π/2*k
k = 0; x = 0; y(0) = 0
k = 1; x = π/2; y(π/2) = sin^2 (π/2) = 1^2 = 1
k = 2; x = π; y(π) = sin^2 (π) = 0
k = 3; x = 3π/2; y(3π/2) = sin^2 (3π/2) = (-1)^2 = 1
k = 4; x = 2π; y(2π) = sin^2 (2π) = 0
Наибольшее: y(π/2) = y(3π/2) = 1
Наименьшее: y(0) = y(π) = y(2π) = 0

б) y = 1/2*x - sin x; x ∈ [0; π/2]
Значения на концах отрезка:
y(0) = 0 - sin 0 = 0
y(π/2) = 1/2*π/2 - sin (π/2) = π/4 - 1 ≈ -0,2146
Наибольшее и наименьшее значение в точке, где y' = 0.
y' = 1/2 - cos x = 0
cos x = 1/2
x = +-π/3 + 2π*n; n ∈ Z
n = 0; x = -π/3 ∉ [0; π/2]
n = 0; x = π/3; y(π/3) = 1/2*π/3 - sin π/3 = π/6 - sqrt(3)/2 ≈ -0,3424
Наибольшее: y(0) = 0
Наименьшее: y(π/3) = π/6 - sqrt(3)/2 ≈ -0,3424

4) y = 1/4*x^4 - 2x^2
Экстремумы - это точки, в которых y' = 0
y' = 1/4*4x^3 - 4x = x^3 - 4x = 0
x^3 - 4x = 0
x(x^2 - 4) = 0
x(x + 2)(x - 2) = 0
x1 = -2; y(-2) = 1/4*(-2)^4 - 2*(-2)^2 = 1/4*16 - 2*4 = -4 - минимум
x2 = 0; y(0) = 0 - максимум
x3 = 2; y(2) = 1/4*2^4 - 2*2^2 = 1/4*16 - 2*4 = -4 - минимум
При x < -2 будет y' < 0 - функция убывает.
При -2 < x < 0 будет y' > 0 - функция возрастает.
При 0 < x < 2 будет y' < 0 - функция убывает.
При x > 2 будет y' > 0 - функция возрастает.