Задача 68327 Составить уравнение плоскости,...

63c3d50a0fd01e3d4a8619ad

15.01.2023 13:29:04

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ перпендикулярно плоскости проходящей через точку A(6; -1; 2) и отсекающей на оси абсцисс отрезок а=-3, а на оси аппликат - отрезок c=4

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.01.2023 13:40:41

★

Плоскость, проходящая через точку A(6; –1; 2)
и отсекающая на оси абсцисс отрезок а=–3,
а на оси аппликат – отрезок c=4,

т. е плоскость проходит через три точки:
A(6; –1; 2)
(-3;0;0)
(0;0;4)

Уравнение плоскости в общем виде

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек

6a-b+2c+d=0
-3a+d=0 ⇒ d=3a
4c+d=0 ⇒ d=-4c

3a=-4c

c=-(3/4)a


6a-b+2*(-3/4)a+3a=0

b=(15/2)a

ax+by+cz+d=0
ax+(15/2)ay+(-3/4)az+3a=0

Делим на а и умножаем на 4

4х+30y-3z+12=0

нормальный вектор vector{n}=(4;30;-3)


Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ
перпендикулярно плоскости
4х+30y-3z+12=0
нормальный вектор которой vector{n}=(4;30;-3)


Пусть нормальный вектор искомой плоскости vector{N}

vector{N} ⊥ пл ⇒ vector{N} ⊥ любой прямой лежащей в плоскости ⇒ vector{N} ⊥ направляющему вектору оси Оz
vector{N} ⊥ vector{k}

vector{k}=(0;0;1)

vector{N} ⊥vector{n}

Значит,

vector{N}= vector{n} × vector{k}=(4 vector{i}+30 vector{j}-3 vector{k}) × vector{k}=

=4 vector{i}× vector{k}+30 vector{j}× vector{k}-3 vector{k} × vector{k}=

=-4 *vector{j}+30*vector{i}-3*0


vector{N}=(30;-4;0)


Уравнение плоскости, проходящей через точку (0;0;1) оси Оz

с заданным нормальным вектором vector{N}=(30;-4;0)


[b]30*х-4*y=0[/b]