Задача 68314 Вычислить произведение a(b-c)(a+b+2c)...
Условие
Решение
[m]\vec{a} × (\vec{b}-\vec{c})\cdot (\vec{a} + \vec{b}+2\vec{c})=(\vec{a} × \vec{b}-\vec{a} × \vec{c})\cdot (\vec{a} + \vec{b}+2\vec{c}) =[/m]
[m]=\vec{a} × \vec{b}\cdot \vec{a}+\vec{a} × \vec{b}\cdot \vec{b}+\vec{a} ×\vec{b}\cdot 2\vec{c}-\vec{a} ×\vec{c }\cdot \vec{a}-\vec{a} ×\vec{c }\cdot \vec{b}-\vec{a} ×\vec{c }\cdot 2 \vec{c}=[/m]
[m]=\underbrace{\vec{a} × \vec{b}\cdot \vec{a}}_{0}+\underbrace{\vec{a} × \vec{b}\cdot \vec{b}}_{0}+\vec{a} ×\vec{b}\cdot 2\vec{c}-\underbrace{\vec{a} ×\vec{c }\cdot \vec{a}}_{0}-\vec{a} ×\vec{c }\cdot \vec{b}-\underbrace{\vec{a} ×\vec{c }\cdot 2 \vec{c}}_{0}=3\vec{a} ×\vec{b}\cdot \vec{c}=3\vec{a} \vec{b}\vec{c}[/m]
так как
[m]\vec{a} \vec{c } \vec{b}=-\vec{a} \vec{b}\vec{c}[/m]