Задача 68301 Исследовать функцию и построить ее...
Условие
y = x^2-6x+9 / (x-1)^2
Решение
Область определения (- ∞ ;1) U (1;+ ∞ )
2. Найти асимптоты.
x=1 - вертикальная асимптота
так как [m]lim_{x → 1}\frac{x^2-6x+9}{(x-1)^2}=\frac{4}{0}= ∞ [/m]
y=1 - горизонтальная асимптота
так как [m]lim_{x →∞ }\frac{x^2-6x+9}{(x-1)^2}=1 [/m]
3.Точки пересечения с осями.
x=0 ⇒ [m]y=\frac{0^2-6\cdot 0+9}{(0-1)^2}=9[/m]
(0;9) - точка пересечения с осью Оу
y ⇒ [m]\frac{x^2-6x+9}{(x-1)^2}=0[/m]⇒ [m]x^2-6x+9=0[/m]⇒ [m]x=3[/m]
(3;0)- точка пересечения с осью Ох
4. Исследовать функцию на четность/нечетность.
Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения не симметрична относительно нуля
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
Находим производную
Применяем правило дифференцирования частного ( дроби):
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
[m]y`=\frac{(x^2-6x+9)`\cdot (x-1)^2-(x^2-6x+9)\cdot ((x-1)^2)`}{((x-1)^2)^2}[/m]
[m]y`=\frac{(2x-6)\cdot (x-1)^2-(x^2-6x+9)\cdot (2(x-1))}{(x-1)^4}[/m]
[m]y`=\frac{(2x-6)\cdot (x-1)-(x^2-6x+9)\cdot (2)}{(x-1)^3}[/m]
[m]y`=\frac{2(x-3)\cdot (x-1)-2(x-3)^2}{(x-1)^3}[/m]
[m]y`=\frac{2(x-3)\cdot (x-1-(x-3))}{(x-1)^3}[/m]
[m]y`=\frac{4(x-3)}{(x-1)^3}[/m]
y`=0
x=3
Знак производной:
__+___ (1) _-_ (3) __+__
y`>0 на (- ∞ ;1) и на (3;+ ∞ ) , значит функция монотонно возрастает на (- ∞ ;1) и на (3;+ ∞ )
y`<0 на (1; 3) , значит функция монотонно убывает на (1; 3)
x=3 - точка минимума
f(3)=0
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Находим вторую производную
y``=(y`)`
[m]y``=(\frac{4(x-3)}{(x-1)^3})`[/m]
Применяем правило дифференцирования частного ( дроби):
(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
[m]y``=\frac{4(x-3)`\cdot (x-1)^2-4(x-3)\cdot ((x-1)^3)`}{((x-1)^3)^2}[/m]
[m]y``=(\frac{4(8-2x)}{(x-1)4}[/m]
___________+______ (1) ____+_____ (4) ______-____
y``>0 на (- ∞ ;1) и на (1;4)
кривая выпукла вниз вверх на (- ∞ ;1) и на (1;4)
y``>0 на (4;+ ∞ )
кривая выпукла вверх на (4;+ ∞ )
7. Найти дополнительные точки, уточняющие график.
x=-2 ⇒ [m]y=\frac{(-2-3)^2}{(-2-1)^2}=\frac{9}{4}[/m]
x=-1 ⇒ [m]y=\frac{(-1-3)^2}{(-1-1)^2}=4[/m]
8. График.
