Задача 68283 Найти экстремум функции z=|x|+|y| при...

63c1377c8fa916103295f78e

13.01.2023 14:02:16

Найти экстремум функции
z=|x|+|y| при условии
x2+y2=1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.01.2023 15:35:54

★

z=|x|+|y
- симметричная поверхность...

условии
x^2+y^2=1
⇒
ясно, что наименьшее значение в (0;0)

Наибольшее на границе окружности


Поэтому рассматриваем функцию


z=x+y

при условии

x^2+y^2=1



Составляем

F(x;y; λ )=x+y+ λ *(x^2+y^2-1)

Находим частные производные

F`_(x)=1+ 2λ *x

F`_(x)=1+2 λ y

F`_( λ )=(x^2+y^2-1)


Находим стационарные точки:

{1+ 2λ *x=0 ⇒ x=-1/2 λ

{1+2 λ y=0 ⇒ y=-1/2 λ

{x^2+y^2=1 ⇒ (1/-2 λ )^2+(-1/2 λ)^2=1 ⇒ 2 λ ^2=1

λ = ± sqrt(2)/2

Для случая x>0; y>0

x=+sqrt(2)/2

y=+sqrt(2)/2

⇒

Точка максимума