Задача 68273 Решите систему уравнений ...
Условие
Решение
{ x^2 + xy + 8y^2 = 14
Умножим 2 уравнение на 2:
{ 3x^2 - 2xy - y^2 = 7
{ 2x^2 + 2xy + 16y^2 = 28
Складываем уравнения:
5x^2 + 15y^2 = 35
x^2 + 3y^2 = 7
Получилось два уравнения:
{ x^2 + xy + 8y^2 = 14
{ x^2 + 3y^2 = 7
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение:
xy + 5y^2 = 7
xy = 7 - 5y^2
x = 7/y - 5y
Подставляем в 1 уравнение новой системы:
(7/y - 5y)^2 + 7 - 5y^2 + 8y^2 = 14
49/y^2 - 2*7/y*5y + 25y^2 + 7 + 3y^2 = 14
49/y^2 - 70 + 28y^2 = 7
Делим всё на 7:
7/y^2 - 11 + 4y^2 = 0
Умножаем всё на y^2:
4y^4 - 11y^2 + 7 = 0
Биквадратное уравнение, решаем, как квадратное:
D = 11^2 - 4*4*7 = 121 - 112 = 9 = 3^2
y^2 = (11 - 3)/8 = 1
y1 = - 1; x1 = 7/(-1) - 5(-1) = - 7 + 5 = - 2
Проверяем:
3(-2)^2 - 2(-2)(-1) - (-1)^2 = 12 - 4 - 1 = 7
(-2)^2 + (-2)(-1) + 8(-1)^2 = 4 + 2 + 8 = 14
Подходит.
y2 = 1; x2 = 7/1 - 5*1 = 7 - 5 = 2
Проверяем:
3*2^2 - 2*2*1 - 1^2 = 12 - 4 - 1 = 7
2^2 + 2*1 + 8*1^2 = 4 + 2 + 8 = 14
Подходит.
y^2 = (11 + 3)/8 = 14/8 = 7/4
y3 = - sqrt(7)/2; x3 = - 7/sqrt(7)*2 - 5(-sqrt(7))/2 = - 2sqrt(7) + 5sqrt(7)/2 = sqrt(7)/2
Проверяем:
3*7/4 - 2(-sqrt(7)/2)*sqrt(7)/2 - 7/4 = 21/4 + 14/4 - 7/4 = 28/4 = 7
7/4 + (-sqrt(7)/2)*sqrt(7)/2 + 8*7/4 = 7/4 - 7/4 + 2*= 14
Подходит.
y4 = sqrt(7)/2; x4 = 7/sqrt(7)*2 - 5*sqrt(7)/2 = 2sqrt(7) - 5sqrt(7)/2 = - sqrt(7)/2
Проверяем:
3*7/4 - 2(-sqrt(7)/2)*sqrt(7)/2 - 7/4 = 21/4 + 14/4 - 7/4 = 28/4 = 7
7/4 + (-sqrt(7)/2)*sqrt(7)/2 + 8*7/4 = 7/4 - 7/4 + 2*= 14
Подходит.
Ответ: (-2; -1); (2; 1); (-sqrt(7)/2; sqrt(7)/2) ; (sqrt(7)/2; - sqrt(7)/2)