Задача 68254 Определить тип кривой второго порядка,...
Условие
x^2+4xy+4y^2+8x+6y+2=0
Решение
Все решения
Делаем замену с целью избавиться от члена xy:
{ x = x'*cos a - y'*sin a
{ y = x'*sin a + y'*cos a
Подставляем:
(x'*cos a - y'*sin a)^2 + 4(x'*cos a - y'*sin a)(x'*sin a + y'*cos a) +
+ 4(x'sin a + y'cos a)^2 + 8(x'cos a - y'sin a) + 6(x'sin a + y'cos a) + 2 = 0
Раскрываем скобки:
x'^2*cos^2 a - 2x'y'*sin a*cos a + y'^2*sin^2 a + 4x'^2*sin a*cos a -
- 4x'y'*sin^2 a + 4x'y'*cos^2 a - 4y'^2*sin a*cos a +
+ 4x'^2*sin^2 a + 8x'y'*sin a*cos a + 4y'^2*cos^2 a +
+ 8x'*cos a - 8y'*sin a + 6x'*sin a + 6y'*cos a + 2 = 0
Выделяем x'^2, y'^2, x'y', x', y':
x'^2*(cos^2 a + 4sin a*cos a + 4sin^2 a) +
+ x'y'*(-2sin a*cos a - 4sin^2 a + 4cos^2 a + 8sin a*cos a) +
+ y'^2*(sin^2 a - 4sin a*cos a + 4cos^2 a) +
+ x'*(8cos a + 6sin a) + y'*(-8sin a + 6cos a) + 2 = 0
Скобку при x'y' приравниваем к 0, находим угол a поворота осей:
-2sin a*cos a - 4sin^2 a + 4cos^2 a + 8sin a*cos a = 0
Приводим подобные, умножаем всё уравнение на -1:
4sin^2 a - 6sin a*cos a - 4cos^2 a = 0
Делим всё уравнение на 2cos^2 a:
2tg^2 a - 3tg a - 2 = 0
Получили квадратное уравнение:
D = (-3)^2 - 4*2(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2
Нас интересует только tg a > 0, чтобы было 0° < a < 90°
tg a = (3 + 5)/4 = 2
[b]a = arctg(2) ≈ 63,435° = 63° 26' 06''[/b]
tg^2 a = 4
1/cos^2 a = 1 + tg^2 a = 1 + 4 = 5
cos^2 a = 1/5
[b]cos a = 1/sqrt(5)[/b]
sin^2 a = 1 - cos^2 a = 1 - 1/5 = 4/5
[b]sin a = 2/sqrt(5)[/b]
Подставляем в наше исходное уравнение:
x'^2*(1/5 + 4*2/sqrt(5)*1/sqrt(5) + 4*4/5) + x'y'*0 +
+ y'^2*(4/5 - 4*2/sqrt(5)*1/sqrt(5) + 4*1/5) +
+ x'*(8*1/sqrt(5) + 6*2/sqrt(5)) + y'*(-8*2/sqrt(5) + 6*1/sqrt(5)) + 2 = 0
Вычисляем:
x'^2*(1/5 + 8/5 + 16/5) + y'^2*(4/5 - 8/5 + 4/5) +
+ x'*20/sqrt(5) - y'*10/sqrt(5) + 2 = 0
Заметим, что:
20/sqrt(5) = 20sqrt(5)/5 = 4sqrt(5)
10/sqrt(5) = 2sqrt(5)
Приводим подобные:
x'^2*25/5 + y'^2*0 + 20/sqrt(5)*x' - 10/sqrt(5)*y' + 2 = 0
5x'^2 + 4sqrt(5)*x' - 2sqrt(5)*y' + 2 = 0
Выделяем полный квадрат:
5(x'^2 + 2*2sqrt(5)/5*x' + 4*5/25 - 4*5/25) - 2sqrt(5)*y' + 2 = 0
5(x'^2 + 2*2/sqrt(5)*x' + 4/5 - 4/5) - 2sqrt(5)*y' + 2 = 0
(x' + 2/sqrt(5))^2 - 2 - 2sqrt(5)*y' + 2 = 0
(x' + 2/sqrt(5))^2 = 2sqrt(5)*y'
Это каноническое уравнение параболы.
Вершина: (-2/sqrt(5); 0) = (-2sqrt(5)/5; 0)
Параметр: p = sqrt(5) = 5/sqrt(5)
Фокус: (p + x0; y0) = (5/sqrt(5) - 2/sqrt(5); 0) = (3/sqrt(5); 0) = (3sqrt(5)/5; 0)
Директриса: x' = -p/2 + x0 = -3sqrt(5)/10 - 2sqrt(5)/5 = -7sqrt(5)/10
Рисунок прилагается.