Задача 68218 ( 4cos^2x + 5sin^2x - 3 ) : 10cos^2x -...

63be5811531eb10f0294890d

11.01.2023 09:58:58

( 4cos^2x + 5sin^2x - 3 ) : 10cos^2x - 40 = cos2x

63be3bc71302bd5f6e4026ac

11.01.2023 10:15:25

★

( 4cos^2x+5sin^2x–3 ) / 10cos^2x–40=cos2x
'cos2x можно представить по след. формулам:
cos2x=1-2sin^2x
cos2x=2cos^2x-1
cos2x=cos^2x-sin^2x
я применю третью формулу'.
( 4cos^2x+5sin^2x–3 ) / 10cos^2x–40 = cos^2x-sin^2x
'если что знаменатель нельзя перемножать, поэтому вспоминаем теорию за 8-10 класс:'
10cos^2x≠40
cos^2x≠4
cosx≠±2
'теперь работаем с левой частью, тут всё просто, нужно использовать вот эти две формулы:
cos^2x=1-sin^2x
sin^2x=1-cos^2x
по ходу решения мне пригодилась только первая формула.'
4-3-sin^2x+5sin^2x-cos^2x+sin^2x=0
1+2sin^2x-cos^2x=0
1+2-3cos^2x=0
-3cos^2x=-3
cos^2x=1
cosx=1
x=2πk, k∈Z

5f3ffd6fb5ac0b3cc606fb26

11.01.2023 10:58:35

Ответ неправильный Надо: (cosx)^2=1. cosx=1 или cosx=-1.тогда x=πk. k ∈ z

626fab9a354ab65fb2f43abb

11.01.2023 12:15:49

[m]\frac{4cos^2 x + 5sin^2 x - 3}{10cos^2 x} - 40 = cos 2x[/m]
Область определения: cos x ≠ 0; x ≠ π/2 + π*n, n ∈ Z
[m]\frac{5cos^2 x - cos^2 x + 5sin^2 x - 3}{10cos^2 x} - 40 = 2cos^2 x - 1[/m]
Как известно, cos^2 x + sin^2 x = 1, поэтому:
[m]\frac{5 - cos^2 x - 3}{10cos^2 x} - 40 = 2cos^2 x - 1[/m]
[m]\frac{2 - cos^2 x}{10cos^2 x} - 40 = 2cos^2 x - 1[/m]
Делаем замену y = cos^2 x ∈ (0; 1] при любом x.
[m]\frac{2 - y}{10y} = 2y + 39[/m]
2 - y = 10y(2y + 39)
2 - y = 20y^2 + 390y
20y^2 + 391y - 2 = 0
D = 391^2 - 4*20(-2) = 152881 + 160 = 153041 ≈ 391,2
y1 = cos^2 x = (-391 - 391,2)/40 < 0 - не подходит.
y2 = cos^2 x = (-391 + 391,2)/40 = 0,2/40 = 1/200
cos x1 = -sqrt(1/200) = -1/(10sqrt(2)) = -sqrt(2)/20
x1 = +-(π - arccos(sqrt(2)/20) + 2πk, k ∈ Z
cos x2 = sqrt(1/200) = 1/(10sqrt(2)) = sqrt(2)/20
x2 = +-(arccos(sqrt(2)/20)) + 2πk, k ∈ Z