Задача 68196 Найти проекцию точки А(-6;6;3) на...

63b949ac338a47227b6e653d

10.01.2023 18:25:48

Найти проекцию точки А(-6;6;3) на плоскость, проходящую через точку B(0;3;0), C(-2;0;0), D(0;0;6).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.01.2023 18:44:27

★

Уравнение плоскости составим как уравнение в отрезка:

[m]\frac{x}{(-2)}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1[/m]

[m]-3x+2y+z=6[/m]

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором vector{n}=(-3;2;1}


Составим уравнение прямой, проходящей через точку А с направляющим вектором vector{n}=(-3;2;1}

Такая прямая будет перпендикулярна плоскости, так как нормальный вектор перпендикулярен плоскости


[m]\frac{x-(-6)}{-3}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-3}{1}[/m]


Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Решаем систему

{[m]\frac{x-(-6)}{-3}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-3}{1}[/m]
{[m]-3x+2y+z=6[/m]


Запишем параметрическое уравнение прямой

[m]\frac{x-(-6)}{-3}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-3}{1}[/m]=[red]t[/red] ⇒

x=-3t-6
y=2t+6
z=t+3

и подставим в уравнение плоскости

[m]-3(-3t-6)+2(2t+6)+(t+3)=6[/m]


Найдем t

[b]t=(-27/14)[/b]

Найдем координаты точки


x=-3[b](-27/14)[/b]-6
y=2[b](-27/14[/b])+6
z=[b](-27/14)[/b]+3