Задача 68195 Вершины треугольника АВС имеют...

63b949ac338a47227b6e653d

10.01.2023 18:23:28

Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-2;1;3), B(-4;3;2), C(-2;5;6).
Найти параметрические уравнения [blue]высоты[/blue], [green]медианы[/green] и [red]биссектрисы[/red], проведенных из вершины А.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.01.2023 11:48:26

★

1)
M(-3;4;4)- середина ВС

Уравнение медианы АМ, как прямой, проходящей через две точки:

[m]\frac{x+2}{-3+2}=\frac{y-1}{4-1}=\frac{z-3}{4-3}[/m]
[m]\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{1}[/m]
параметризуем:

[m]\frac{x+2}{-3+2}=\frac{y-1}{4-1}=\frac{z-3}{4-3}[/m]=[red]t[/red] ⇒


[m]\frac{x+2}{-1}[/m]=[red]t[/red] ⇒ x=-2-[red]t[/red]
[m]\frac{y-1}{3}[/m]=[red]t[/red] ⇒ y=1+3[red]t[/red]
[m]\frac{z-3}{1}[/m]=[red]t[/red] ⇒ z=3+[red]t[/red]


2) Высота АН- перпендикуляр к прямой ВС

Составляем уравнение прямой ВС,как прямой, проходящей через две точки:

( см. скрин)

Направляющий вектор прямой BC

vector{q}=(2;2;4)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярной прямой ВС


Направляющий вектор прямой ВС становится нормальным вектором плоскости

2*(x-(-2))+2*(y-1)+4*(z-3)=0 ⇒ 2x+2y+4z+10=0

Находим точку пересечения прямой ВС и плоскости:

Решаем систему:
{2x+2y+4z+10=0
{[m]\frac{x+4}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{4}[/m]

параметризуем:

[m]\frac{x+4}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{4}[/m]=[red]t[/red] ⇒ x=2t-4; y=2t+3;z=4t+2

2(2t-4)+2(2t+3)+4(4t+2)+10=0

4t+4t+16t-8+6+8+10=0
24t=-16

t=-2/3

Координаты точки Н:

x=2*(-2/3)-4; y=2*(-2/3)+3; z=4*(-2/3)+2

H(-16/3; 5/3;-2/3)

Уравнение прямой АН как прямой, проходящей через две точки.