Задача 68193 ...

63bd7c0748656d0f52a625ea

10.01.2023 18:02:21

Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы ( A B , -точки, лежащие на кривой, F - фокус, a - большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось, ε - эксцентриситет, y=±kx+b - равнения асимптот гиперболы, D - директриса кривой, 2c - фокусное расстояние).
а) A ( -√17/13, 1/3), (√21/2, 1/2) ; б) k= 1/2, ε=√5/2; в) D: y=-1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.01.2023 18:30:37

★

a) Каноническое уравнение эллипса:
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

Подставляем координаты точек A и B:

{(( –√(17/3))^2))/a^2)+((1/3)^2/b^2)=1
{((√21/2)^2)/a^2)+((1/2)^2/b^2)=1

{(17/3)b^2+(1/9)/a^2)=a^2b^2
{(21/4)b^2+(1/4)a^2=a^2b^2

(17/3)b^2+(1/9)/a^2)=(21/4)b^2+(1/4)a^2

(17/3)b^2- (21/4)b^2=(1/4)a^2-(1/9)/a^2)

(5/12)b^2=(5/36)a^2

3b^2=a^2

(17/3)b^2+(1/9)*(3b^2)=(3b^2)*b^2

3b^2=2

b^2= 2/3

a^2=3*(2/3)=2


О т в е т. [b](x^2/2)+(y^2/(2/3))=1[/b]


б) Каноническое уравнение гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

Уравнения асимптот y= ± (b/a) x


Эксцентриситет

ε=c/a


По условию

Уравнения асимптот y= ± k x; k=1/2

значит b/a=1/2 ⇒ [b] b=a/2[/b]

ε =sqrt(5)/2

Недостаточно данных

( см. скрин.)

b/a=sqrt(ε^2-1) ⇒ [b] b=a/2[/b]

Нужна еще одна зависимость...


Подставляем в каноническое уравнение гиперболы
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1



в)D: y= -1

если каноническое уравнение параболы имеет вид
x^2=2py, то фокус параболы

F(0; p/2)

D: y= - p/2

Значит,
-p/2=-1

p=2

О т в е т. [b]x^2 = 4y [/b]