Задача 68189 Вычислить пределы функций, не пользуясь...
Условие
Решение
[m]\lim_{x \to 2}\frac{4x^2-9x+2}{\sqrt{2x}-2}=\frac{4\cdot 2^2-9\cdot 2+2}{\sqrt{2\cdot 2}-2}=\frac{0}{0}[/m]
Неопределенность
Числитель раскладываем на множители:
[m]4x^2-9x+2=(x-2)(4x-1)[/m]
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение
[m](\sqrt{2x}+2)[/m]
Получаем:
[m]=\lim_{x \to2}\frac{(x-2)(4x-1)(\sqrt{2x}+2)}{(\sqrt{2x}-2)(\sqrt{2x}+2)}=[/m]
Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
[m]\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(4x-1)(\sqrt{2x}+2)}{(\sqrt{2x})^2-2^2}=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(4x-1)(\sqrt{2x}+2)}{2x-4}=[/m]
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(4x-1)(\sqrt{2x}+2)}{2x-4}=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(4x-1)(\sqrt{2x}+2)}{2(x-2)}=[/m]
Сокращаем на (x-2)
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{(4x-1)(\sqrt{2x}+2)}{2}=\frac{(4\cdot 2-2)(\sqrt{2\cdot 2}+2)}{2}=\frac{7\cdot }{2}=7[/m]
2)Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим и числитель и знаменатель на[m] x[/m]
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{\sqrt{1-x^2}+5x}{x}}{\frac{\sqrt[3]{`1-x^3}}{x}}=[/m]
Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на[m] x[/m] и
каждое слагаемое знаменателя делим на[m] x[/m]:
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}+\frac{5x}{x}}{\frac{\sqrt[3]{1-x^3}}{x}}[/m]
Применяем свойства корня:
[m]=\lim_{\to \infty }\frac{\sqrt{\frac{1-x^2}{x^2}}+\frac{x}{x}}{\sqrt[3]{\frac{1-x^3}{x^3}}}=[/m]
[m]\lim_{\to \infty }\frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}+5}{\sqrt{\frac{1}{x^3}-1}}=[/m]
3) Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на
[m]\sqrt(6+x)+1[/m]
[m]\lim_{x\to -5 }\frac{
tg(x+5)\cdot(\sqrt{6+x}+1)}{(\sqrt{6+x}-1)(\sqrt{6+x}+1)}=[/m]
Применяем формулу разности квадратов и получаем:
[m]\lim_{x\to -5 }\frac{tg(x+5)\cdot(\sqrt{6+x}+1)}{6+x-1}=\lim_{x\to -5 }\frac{tg(x+5)}{x+5}\cdot (\sqrt{6+x}+1)=1\cdot 2=2 [/m]
4)
[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+3}{5x-2})^{9x-1}=\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+3}{5x-2})^{9x}\cdot (\frac{5x+3}{5x-2})^{-1}=[/m]
[m]=\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+3}{5x-2})^{9x}\cdot \frac{5x-2}{5x+3}=[/m]
Предел произведения равен произведению пределов:
[m]=\lim_{x \to\infty}(\frac{5x+3}{5x-2})^{9x}\cdot \lim_{x \to\infty}\frac{5x-2}{5x+3}=[/m]
Делим числитель и знаменатель второй дроби на (5х):
[m]\lim_{x \to\infty}\frac{5x-2}{5x+3}=\lim_{x \to\infty}\frac{\frac{5x+3}{5x}}{\frac{5x-2}{5x}}=\lim_{x \to\infty}\frac{1+\frac{3}{5x}}{1-\frac{2}{5x}}=\frac{1+0}{1-0}=1[/m]
Делим числитель и знаменатель второй дроби на (5х):
[m]=\lim_{x \to\infty}\frac{(1+\frac{3}{5x})^{5x}}{(1-\frac{2}{5x})^{9x}}=[/m]
Применяем второй замечательный предел:
[m]\lim_{x \to\infty}\frac{((1+\frac{3}{5x})^{\frac{5x}{3}})^{\frac{27}{5}}}{((1-\frac{2}{5x})^{-\frac{5x}{2}})^{\frac{-18}{5}}}=\frac{e^{\frac{27}{5}}}{e^{\frac{-18}{5}}}=e^{\frac{27}{5}-(-\frac{18}{5})}=e^{9}[/m]
5)
[m]lim_{x → ∞ }x\cdot ln\frac{9+x}{8+x}=[/m]
Свойство логарифма степени:
[m]=lim_{x → ∞ } ln(\frac{9+x}{8+x})^{x}=[/m]
#нак предела и знак непрерывной функции ( у наc логарифмическая, она непрерывна на области определения) можно менять местами:
[m]=ln lim_{x → ∞ }\frac{9+x}{8+x}^{x}=[/m]
второй замечательный предел:[m]= lim_{x → ∞ }(1+\frac{1}{8+x})^{x+8}=e[/m]
[m]=ln lim_{x → ∞ }(1+\frac{1}{8+x})^{x}=ln lim_{x → ∞ }(1+\frac{1}{8+x})^{x+8}\cdot (1+\frac{1}{8+x})^{-8}=ln (e\cdot 1)=1[/m]