Задача 68177 Исследовать данные функции на...
Условие
Решение
На (- ∞ ;-1) функция непрерывна, так как y=х+2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (-1;1) функция непрерывна, так как y=x^2-1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=-x+3 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=-1 и х=1
Находим предел слева:
lim_(x → -1-0)f(x)=lim_(x →-1 -0)(х+2)=(-1-0)+2=[b]1[/b]
Находим предел справа:
lim_(x →-1 +0)f(x)=lim_(x → -1+0)(x^2-1)=(-1+0)^2-1=[b]0[/b]
Предел слева не равен пределу справа.
Функция имеет конечный скачок в точке х=-1
Значит х=-1 - точка разрыва первого рода
x=1
Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)(x^2-1)=(1+0)^2-1=[b]0[/b]
Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)(-x+3)=(1+0)+3=4
Предел слева не равен пределу справа.
Функция имеет конечный скачок в точке х=3
х=3 - [i] - точка разрыва первого рода [/i]
б)
х=2
Функция не определена в точке x=2
Так как при х=2 знаменатель дроби обращается в нуль
lim_(x→2 -0) f(x)=lim_(x→2 -0)(х+7)/(x-2))=- ∞
Левосторонний предел равен ∞ ,
значит х=2 - точка разрыва второго рода.
Если один или оба односторонних предела - бесконечные, то это точка разрыва второго рода
Правосторонний предел тоже бесконечный:
lim_(x→ 2+0) f(x)=lim_(x→2 -0)(х+7)/(x-2))=+ ∞
x=2 -[b] [i]точка разрыва второго рода[/i][/b]
x=3 [b]- [i]точка непрерывности.[/i][/b]
так как
lim_(x→ 3-0) f(x)=lim_(x→3 +0) f(x)= f(3)=(3+7).(3-2)=10
Предел слева равен пределу справа и равен значению функции в точке.
