Задача 68176 Найти пределы функций, не используя...
Условие
Решение
a)
[m]\lim_{x \to \infty }\frac{4x^2-5x+1}{8x^2+5x-2}=[/m]
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^2:
[m]=\lim_{ x\to \infty }\frac{\frac{4x^2-5x+1}{x^2}}{\frac{8x^2+5x-2}{x^2}}=[/m]
Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на [m]x^2[/m] и
каждое слагаемое знаменателя делим на [m]x^2[/m]:
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{4x^2}{x^2}-\frac{5x}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{\frac{8x^2}{x^2}+\frac{5x}{x^2}-\frac{2}{x^2}}=[/m]
[m]=\lim_{x \to \infty }\frac{4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}{8+\frac{5}{x}-\frac{2}{x^2}}=\frac{4-0+0}{8+0-0}=\frac{4}{8}=0,.5[/m]
б)
[m]\lim_{x \to 2 }\frac{3x^2-4x-4}{2x^2-5x+2}=\frac{3\cdot 2^2-4\cdot 2-4}{2\cdot 2^2-5\cdot 2+2}=\frac{12-8-4}{8-10+2}=\frac{0}{0}[/m]
Неопределенность 0/0.
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:
[m]=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(3x+2)}{(x-2)(2x-1)}=[/m]
сокращаем на [m](x-2)[/m]
[m]=\lim_{x \to }\frac{3x+2}{2x-1}=\frac{3\cdot 2+2}{2\cdot 2-1}=\frac{6+2}{4-1}=\frac{8}{3}[/m]
в)
[m]\lim_{x \to 3}\frac{x^2+5x-6}{\sqrt{2x+3}-3}=\frac{3^2-5\cdot 3+6}{\sqrt{2\cdot 3+3}-3}\frac{0}{0}[/m]
Неопределенность
Числитель раскладываем на множители:
[m]x^2-5x+6=(x-3)(x-2)[/m]
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение
[m](\sqrt{2x+3}+3)[/m]
Получаем:
[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x-2)(\sqrt{2x+3}+3)}{(\sqrt{2x+3}-3)(\sqrt{2x+3}+3)}=[/m]
Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
[m]\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x-2)(\sqrt{2x+3}+3)}{(\sqrt{2x+3})^2-3^2}=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x-2)(\sqrt{2x+3}+3)}{2x+3-9}=[/m]
[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x-2)(\sqrt{2x+3}+3)}{2x-6}=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x-2)(\sqrt{2x+3}+3)}{2(x-3)}[/m]
Сокращаем на (x-3)
[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x-2)(\sqrt{2x+3}+3)}{2}=\frac{(3-2)(\sqrt{2\cdot 3+3}+3)}{2}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}[/m]
г)
Под знаком корня неопределенность ( ∞ - ∞ )
Умножаем и делим на [m] (\sqrt{49x^2-3x}+7x) [/m]
[m]lim_{x→ ∞ }\frac{(\sqrt{49x^2-7x}-3x)\cdot (\sqrt{49x^2-3x}+7x)}{\sqrt{49x^2-3x}+7x}=lim_{x→ ∞ }\frac{(\sqrt{49x^2-3x})^2-(7x)^2}{\sqrt{49x^2-3x}+7x}=[/m]
[m]=lim_{x→ ∞ }\frac{49x^2-3x-49x^2}{\sqrt{49x^2-3x}+7x}=lim_{x → ∞ }\frac{(-3x)}{\sqrt{49x^2-3x}+7x}=[/m]
Неопределенность (∞ / ∞)
Делим на х и числитель и знаменатель
[m]=lim_{x→∞ }\frac{-3\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{49x^2-3x}+7x}{x}}=lim_{x→ ∞ }\frac{(-3)}{\sqrt{49-\frac{3x}{x^2}}+7}=-\frac{3}{14}[/m]
д)
[m]lim_{x →0}\frac{cosx\cdot arctg\frac{x}{2}}{ln(1+4sin3x}[/m]
По следствиям второго и первого замечательных пределов
[m]lim_{x →0}\frac{4 sin3x}{ln(1+4sin3x)}=1[/m]
[m]lim_{x →0}\frac{arctg\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1[/m]
[m]lim_{x →0}cosx \cdot \frac{ arctg\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{\frac{x}{2}}{4 sin3x}\cdot\frac{4 sin3x}{ln(1+4sin3x)}=[/m]
предел произведения равен произведению пределов:
[m]lim_{x →0}cosx \cdot lim_{x →0}\frac{ arctg\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot lim_{x →0} \frac{\frac{x}{2}}{4 sin3x}\cdot lim_{x →0}\frac{4 sin3x}{ln(1+4sin3x)}=[/m]
[m]lim_{x →0}\frac{\frac{x}{2}}{4 sin3x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot lim_{x →0}\frac{x}{sin3x}=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{3} lim_{x →0}\frac{3x}{sin3x}=\frac{1}{24}[/m]
е)
см. второй замечательный предел
[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{3x-1}{3x+5})^{2x+1}=\lim_{x \to\infty})(\frac{3x-1}{3x+5})^{2x}\cdot(\frac{3x-1}{3x+5})^{1}=[/m]
Предел произведения равен произведению пределов.
[m]\lim_{x \to\infty}(\frac{3x-1}{3x+5})^{1}=1^{1}=1[/m]
[m]\lim_{x \to\infty})(\frac{3x-1}{3x+5})^{2x}=\lim_{x \to\infty}(\frac{\frac{3x-1}{3x}}{\frac{3x+5}{3x}})^{2x}=[/m]
[m]=\lim_{x \to\infty}\frac{((1-\frac{1}{3x})^{-3x})^{-\frac{2}{3}}}{((1+\frac{5}{3x})^{\frac{3x}{5}})^{\frac{10}{3}}}=\frac{e^{-\frac{2}{3}}}{e^{\frac{10}{3}}}=e^{-\frac{2}{3}-(\frac{8}{3})}=e^{-\frac{12}{3}}=e^{-4}[/m]