Задача 68175 найти корни...

63baa26912a36b2f63c617ca

10.01.2023 07:34:35

найти корни уравнения
2cosx/(sin3x+sinx)-4/3=cos^2(x+п/4)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.01.2023 09:56:49

★

[m]\frac{2cosx}{sin3x+sinx}-\frac{4}{3}=cos^2(x+\frac{π}{4})[/m]


[m]sin3x+sinx=2sin\frac{3x+x}{2}\cdot cos\frac{3x-x}{2}=2sin2x \cdot cosx[/m]


[m]cos^2(x+\frac{π}{4})=\frac{1+cos(2x+\frac{π}{2})}{2}=\frac{1-sin2x}{2}[/m]


Уравнение принимает вид:

[m]\frac{2cosx}{2sin2x \cdot cosx}-\frac{4}{3}=\frac{1-sin2x}{2}[/m]

cosx ≠ 0

[m]\frac{1}{sin2x}-\frac{4}{3}=\frac{1-sin2x}{2}[/m] ⇒ [m]\frac{3-4sin2x}{3sin2x}=\frac{1-sin2x}{2}[/m]

[m]6-8sin2x=3sin2x-3sin^22x[/m]


[m]3sin^22x-11sin2x+6=0[/m]

Квадратное уравнение


D=121-72=49

sin2x=2/3 ИЛИ sin2x=3 ( не имеет корней, так как |sin2x| ≤ 1)


2x=(-1)^(k) arcsin (2/3)+πk, k ∈[b] Z[/b]

x=(-1)^(k)*(1/2)arcsin(2/3)+(π/2)k, k ∈[b] Z[/b] - это ответ