Задача 68164 ...

637921394cfcd5727962e7cc

09.01.2023 19:29:33

найти первые две производные функций и их значения в точке x₀ = 0, если:
y = √5 arctg (x/√5 ) + ln (x² + 5)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

09.01.2023 19:33:33

★

[m]y`=(\sqrt{5}arctg\frac{x}{5}+ln(x^2+5))`=[/m]

производная суммы равна сумме производных

[m]=(\sqrt{5}arctg\frac{x}{5})`+(ln(x^2+5))`=[/m]

постоянный множитель можно вынести за знак производной

[m]=\sqrt{5}\cdot (arctg\frac{x}{5})`+(ln(x^2+5))`=[/m]

По формулам (см таблицу)

[m]=\sqrt{5}\cdot \frac{(\frac{x}{5})`}{(\frac{x}{5})^2+1}+\frac{(x^2+5)`}{x^2+5}[/m]

По правилам и формулам
[m](\frac{x}{5})`=\frac{1}{5}\cdot (x)`=\frac{1}{5}[/m]

[m](x^2+5)`=(x^2)+(5)`=2x+0=2x[/m]

[m]=\sqrt{5}\cdot \frac{\frac{1}{5}}{(\frac{x}{5})^2+1}+\frac{2x}{x^2+5}[/m]


[m]=\sqrt{5}\cdot \frac{\frac{25}{5}}{x^2+25}+\frac{2x}{x^2+5}[/m]


[m]= \frac{5\sqrt{5}}{x^2+25}+\frac{2x}{x^2+5}[/m]



[m]y`(0)= \frac{5\sqrt{5}}{0^2+25}+\frac{2\cdot 0}{0^2+5}= \frac{\sqrt{5}}{5}[/m]