Задача 68159 x^2 - 4xy + y^2 + 4x - 8y +13 =...

63bb1ad512a36b2f63c61bc3

09.01.2023 17:04:01

x^2 - 4xy + y^2 + 4x - 8y +13 = 0
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием, определить тип кривой и координаты ее
фокусов.

626fab9a354ab65fb2f43abb

09.01.2023 18:25:17

★

x^2 – 4xy + y^2 + 4x – 8y + 13 = 0
Замена переменных с целью избавиться от члена xy:
{ x = x'*cos a - y'*sin a
{ y = x'*sin a + y'*cos a
(x'*cos a - y'*sin a)^2 – 4(x'*cos a - y'*sin a)(x'*sin a + y'*cos a) +
+ (x'sin a + y'cos a)^2 + 4(x'cos a - y'sin a) – 8(x'sin a + y'cos a) + 13 = 0
Раскрываем скобки:
x'^2*cos^2 a - 2x'y'*sin a*cos a + y'^2*sin^2 a -
- 4x'^2*sin a*cos a + 4x'y'*sin^2 a - 4x'y'*cos^2 a + 4y'^2*sin a*cos a +
+ x'^2*sin^2 a + 2x'y'*sin a*cos a + y'^2*cos^2 a +
+ 4x'*cos a - 4y'*sin a - 8x'*sin a - 8y'*cos a + 13 = 0
Объединяем x'^2, y'^2, x'y', x' и y', приводим подобные:
x'^2*(cos^2 a - 4sin a*cos a + sin^2 a) +
+ x'y'*(-2sin a*cos a + 4sin^2 a - 4cos^2 a + 2sin a*cos a) +
+ y'^2*(sin^2 a + 4sin a*cos a + cos^2 a) +
+ x'*(4cos a - 8sin a) + y'*(-4sin a - 8cos a) + 13 = 0
Скобку при члене x'y' приравниваем к 0, находим угол поворота:
-2sin a*cos a + 4sin^2 a - 4cos^2 a + 2sin a*cos a = 0
4sin^2 a - 4cos^2 a = 0
sin^2 a - cos^2 a = 0
tg^2 a - 1 = 0
Нас интересует только положительное значение tg а,
чтобы угол а ∈ (0°; 90°)
tg a = 1
Угол поворота: [b]a = 45°[/b]
[b]sin a = 1/sqrt(2)[/b]; sin^2 a = 1/2
[b]cos a = 1/sqrt(2)[/b]; cos^2 a = 1/2
Подставляем в наше уравнение, помним, что член при x'y' равен 0.
x'^2*(1/2 - 4*1/sqrt(2)*1/sqrt(2) + 1/2) + x'y'*0 +
+ y'^2*(1/2 + 4*1/sqrt(2)*1/sqrt(2) + 1/2) +
+ x'*(4*1/sqrt(2) - 8*1/sqrt(2)) + y'*(-4*1/sqrt(2) - 8*1/sqrt(2)) + 13 = 0
Вычисляем коэффициенты:
x'^2*(1/2 - 4*1/2 + 1/2) + y'^2*(1/2 + 4*1/2 + 1/2) +
+ x'*(-4/sqrt(2)) + y'*(-12/sqrt(2)) + 13 = 0
Заметим, что:
4/sqrt(2) = 4sqrt(2)/2 = 2sqrt(2)
12/sqrt(2) = 12sqrt(2)/2 = 6sqrt(2)
Приводим подобные:
-x'^2 + 3y'^2 - x'*2sqrt(2) - y'*6sqrt(2) + 13 = 0
Умножаем всё на -1:
x'^2 - 3y'^2 + 2sqrt(2)x' + 3*2*sqrt(2)y' - 13 = 0
Выделяем полные квадраты и переносим 13 направо:
(x'^2 + 2sqrt(2)x' + (sqrt(2))^2) - (sqrt(2))^2 -
- 3(y'^2 - 2sqrt(2)y' + (sqrt(2))^2 - (sqrt(2))^2) = 13
(x' + sqrt(2))^2 - 2 - 3(y' - sqrt(2))^2 + 3*2 = 13
(x' + sqrt(2))^2 - 3(y' - sqrt(2))^2 = 13 + 2 - 6
(x' + sqrt(2))^2 - 3(y' - sqrt(2))^2 = 9
Делим всё на 9:
[b](x' + sqrt(2))^2/9 - (y' - sqrt(2))^2/3 = 1[/b]
Это гипербола, ее центр (-sqrt(2); sqrt(2)), полуоси a = 3; b = sqrt(3)
Рисунки исходной (1) и повернутой (2) гипербол прилагаются.