Задача 68155 ...
Условие
ƒ (x) = { x², если x ≤ 0
cos x , если 0< x <π
-1 , если x ≥ π/ 2
как следует изменить функцию, чтобы она была дифференцируема на всей области определения ?
Решение
Если одна часть функции на интервале (0; π), то вторая должна быть
на интервале x ≥ π, а не x ≥ π/2.
[m]f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{x ≤ 0} \\
cos(x) & \text{x ∈ (0; π)} \\
-1 & \text{x ≥ π}
\end{cases}[/m]
Область определения: (-oo; +oo). Функция кусочно-непрерывная.
Чтобы исследовать её на непрерывность, нужно проверить границы.
f(0-0) = x^2 = 0^2 = 0 - значение при приближении к 0 слева.
f(0+0) = cos x = cos 0 = 1 - значение при приближении к 0 справа.
Значения разные, значит, в точке x = 0 неустранимый разрыв 1 рода,
то есть скачок функции.
f(π-0) = cos π = -1 - значение при приближении к π слева.
f(π+0) = -1 - значение при приближении к π справа.
Значения одинаковые, значит, в точке x = π функция непрерывна.
Чтобы функция стала дифференцируема, то есть непрерывна на всей области определения, нужно значение при x ≤ 0 увеличить на 1.
График прилагается.