Задача 68152 Определить тип кривой второго порядка,...
Условие
уравнение и найти каноническую систему координат.
Решение
Вводим замену переменных, чтобы избавиться от члена xy:
{ x = x'·cos a – y'·sin a
{ y = x'·sin a + y'·cos a
Подставляем:
9(x'*cos a - y'*sin a)^2 - 4(x'*cos a - y'*sin a)(x'*sin a + y'*cos a) +
+ 6(x'sin a + y'cos a)^2 + 16(x'cos a - y'sin a) - 8(x'sin a + y'cos a) - 2 = 0
Раскрываем скобки:
9x'^2*cos^2 a - 18x'y'*sin a*cos a + 9y'^2*sin^2 a -
- 4x'^2*sin a*cos a + 4x'y'*sin^2 a - 4x'y'*cos^2 a + 4y'^2*sin a*cos a +
+ 6x'^2*sin^2 a + 12x'y'*sin a*cos a + 6y'^2*cos^2 a +
+ 16x'*cos a - 16y'*sin a - 8x'*sin a - 8y'*cos a - 2 = 0
Объединяем x'^2, y'^2, x'y', x' и y', приводим подобные:
x'^2*(9cos^2 a - 4sin a*cos a + 6sin^2 a) +
+ x'y'*(-18sin a*cos a + 4sin^2 a - 4cos^2 a + 12sin a*cos a) +
+ y'^2*(9sin^2 a + 4sin a*cos a + 6cos^2 a) +
+ x'*(16cos a - 8sin a) + y'*(-16sin a - 8cos a) - 2 = 0
Скобку при члене x'y' приравниваем к 0, находим угол поворота а:
-18sin a*cos a + 4sin^2 a - 4cos^2 a + 12sin a*cos a = 0
4sin^2 a - 6sin a*cos a - 4cos^2 a = 0
Делим всё уравнение на 2cos^2 a:
2tg^2 a - 3tg a - 2 = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg a:
D = (-3)^2 - 4*2(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2
Нас интересует только положительное значение tg a,
чтобы угол поворота был a ∈ (0° ; 90°):
tg a = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2
Угол поворота: [b]a[/b] = arctg(2) [b]≈ 63,435° = 63° 26' 06''[/b]
tg^2 a = 4
1/cos^2 a = 1 + tg^2 a = 1 + 4 = 5
cos^2 a = 1/5
[b]cos a = 1/sqrt(5)[/b]
sin^2 a = 1 - cos^2 a = 1 - 1/5 = 4/5
[b]sin a = 2/sqrt(5)[/b]
Подставляем в наше уравнение, при этом скобка при x'y' равна 0:
x'^2*(9*1/5 - 4*2/sqrt(5)*1/sqrt(5) + 6*4/5) + x'y'*0 +
+ y'^2*(9*4/5 + 4*2/sqrt(5)*1/sqrt(5) + 6*1/5) +
+ x'*(16*1/sqrt(5) - 8*2/sqrt(5)) + y'*(-16*2/sqrt(5) - 8*1/sqrt(5)) - 2 = 0
Вычисляем коэффициенты:
x'^2*(9/5 - 8/5 + 24/5) + y'^2*(36/5 + 8/5 + 6/5) +
+ x'*(16/sqrt(5) - 16/sqrt(5)) + y'*(-32/sqrt(5) - 8/sqrt(5)) - 2 = 0
Приводим подобные и переносим 2 направо:
x'^2*25/5 + y'^2*50/5 + x'*0 - y'*40/5 = 2
5x'^2 + 10y'^2 - 8y' = 2
Приведём к каноническому уравнению, выделяем полные квадраты:
5x'^2 + 10(y'^2 - 0,8y') = 2
5x'^2 + 10(y'^2 - 2*0,4*y' + 0,4^2 - 0,4^2) = 2
5x'^2 + 10(y' - 0,4)^2 - 10*0,16 = 2
5x'^2 + 10(y' - 0,4)^2 = 3,6
Делим всё на 3,6:
x'^2/0,72 + (y' - 0,4)^2/0,36 = 1
Это эллипс. Его центр (0; 0,4), полуоси a = sqrt(0,72) = 0,6sqrt(2); b = sqrt(0,36) = 0,6
Рисунки исходного (1) и повернутого (2) эллипсов прилагаются.
