Задача 68143 Составить каноническое уравнение...

63bacdd112a36b2f63c6198e

08.01.2023 17:44:11

Составить каноническое уравнение окружности, проходящей через
точки А(5;0) и В(1;4), если ее центр лежит на прямой х + у – 3 = 0.

626fab9a354ab65fb2f43abb

08.01.2023 21:57:36

★

Каноническое уравнение окружности:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2
Если оно проходит через 2 точки, можно подставить координаты:
{ (5 - x0)^2 + (0 - y0)^2 = R^2
{ (1 - x0)^2 + (4 - y0)^2 = R^2
Кроме того, мы знаем, что центр M0(x0; y0) лежит на прямой:
x0 + y0 - 3 = 0
y0 = 3 - x0
Подставляем в наши уравнения:
{ (5 - x0)^2 + (3 - x0)^2 = R^2
{ (1 - x0)^2 + (4 - 3 + x0)^2 = R^2
Раскрываем скобки:
{ 25 - 10x0 + x0^2 + 9 - 6x0 + x0^2 = R^2
{ 1 - 2x0 + x0^2 + 1 + 2x0 + x0^2 = R^2
Приводим подобные:
{ 2x0^2 - 16x0 + 34 = R^2
{ 2x0^2 + 2 = R^2
Правые части одинаковые, можно приравнять левые части:
2x0^2 - 16x0 + 34 = 2x0^2 + 2
16x0 = 32
x0 = 2
y0 = 3 - x0 = 3 - 2 = 1
Центр окружности: [b]M0(2; 1)[/b]
Подставляем в любое уравнение:
(5 - x0)^2 + y0^2 = R^2
(5 - 2)^2 + 1^2 = R^2
R^2 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10
Радиус окружности: [b]R = sqrt(10)[/b]
Каноническое уравнение окружности:
[b](x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 10[/b]